Giperbolik tipli tenglamalar

GIPERBOLIK TIPLI TENGLAMALAR


5-Mavzu. Tor tebranish tenglamasi. Dalamber yechimi va formulasi. Dalamber formulasi bilan aniqlangan yechimning fizik ma’nosi. Chegaralangan tor.


1. Tor tebranish tenglamasi. Dalamber formulasi. Ma’lumki, torning erkin tebranishi
(1)
tenglama bilan ifodalanadi. (1) tenglamaning xarakterstikalar tenglamasi

dan iborat. Bunday darhol (1) tenglamaning xarakterstikalari , tо‘g‘ri chiziqlardan iborat ekanligi kelib chiqadi.
Umumiy nazariyaga asosan

deb belgilab olamiz.
Bu yangi о‘zgaruvchilarga nisbatan (1) tenglama
(2)
tenglamaga keladi. (2) tenglamani

kо‘rinishda yozib olamiz. Bundan

bu yerda - ixtiyoriy funksiya.
Hosil bо‘lgan tenglamani, ni parametr deb qarab, bо‘yicha integrallaymiz, u holda

Ushbu

belgilashni kiritib,

formulani hosil qilamiz. Bunda - ixtiyoriy funksiyalar.
Eski va о‘zgaruvchilarga qaytsak, avvalgi formula
(3)
kо‘rinishda yoziladi.
Agar ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar bо‘lsa, (3) formula bilan aniqlangan funksiya (1) tenglamaning yechimi ekanligiga ishonch hosil qilish qiyin emas. (1) tenglamaning (3) yechimi Dalamber yechimi deyiladi.
Bu yechimdan foydalanib, chegaralanmagan tor uchun Koshi masalasini, ya’ni ushbu
(4)
boshlang‘ich shaotlarni qanoatlantiruvchi (1) tenglamaning yechimini topish qiyin emas.
Bu masalaning yechimi mavjud jeb faraz qilamiz. U holda, bu yechim (3) formula bilan aniqlanadi. (chunki u umumiy yechim) (3) formuladagi va funksiyalarni shunday topamizki, natijada (4) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirsin, ya’ni
(5)
Ikkinchi tenglikni integrallab,
(6)
ni hosil qilamiz, biror о‘zgarmas.
(5) tenglikning birinchisidan va (6) dan

va ning bu qiymatlarini (3) formulaga qо‘yib, ushbu
(7)
formulaga ega bо‘lamiz. (7) munosabat Dalamber formulasi deyiladi. Koshi masalasining yechimi mavjud deb, (7) formulani keltirib chiqardik.
Agar berilgan funksiyalardan ikki marta, esa bir marta uzluksiz differensiallanuvchi bо‘lsa, (7) formula bilan aniqlangan funksiyaning (1) tenglamani va (4) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirishini tekshirib kо‘rish qiyin emas. Bu masalaning yagonaligi (7) formulani keltirib chiqarish usulidan darhol kelib chiqadi. (7) formula bilan aniqlangan yechim boshlang‘ich shartlarga uzluksiz bog‘liq bо‘ladi. Haqiqatan ham, har bir uchun shunday ni kо‘rsatish mumkinki, va ni va ga almashtirish natijasida

bо‘lsin. va boshlang‘ich shartlarga mos yechimni orqali belgilab olib, ayirmani baholaymiz:

biror chekli oraliqda о‘zgarganda (ya’ni da) ni shartni qanoatlantiradigan qilib tanlab olsak, tengsizlikni hosil qilamiz. Demak, (1), (4) masala korrekt qо‘yilgan masala ekan.
Endi yechimning fizik ma’nosini aniqlaymiz. Shu maqsadda avval (3) formulaga murojaat qilamiz. Avvalo bо‘lgan xususiy holni kо‘ramiz, ya’ni torning siljishi

formula bilan aniqlansin.
Faraz qilaylik, torning tebranishini ko’zatuvchi vaqtda torning nuqtasidan chiqib, о‘qning musbat yо‘nalishi bо‘yicha tezlik bilan yura boshlasin, ya’ni uning abssissasi vaqtda yoki formula bilan aniqlanadi. Bunday ko’zatuvchi uchun formula bilan aniqlanadigan torning siljishi ga teng bо‘lib, hamma vaqt о‘zgarmas bо‘lib qoladi, ya’ni о‘qning musbat tomoniga qarab tezlik bilan harakat qilgan kishi torning nuqtasini har doim balandlikda kо‘rishi kerak. Demak, tor ham о‘ng tomonga qarab tezlik bilan harakat qilar ekan.
funksiya bilan tasvirlanadigan hodisa tо‘g‘ri tо‘lqinning tarqalishi deyiladi.
Xuddi shunga о‘xshash, yechim teskari tо‘lqinni ifodalaydi, bu tо‘lqin о‘qning manfiy yо‘nalishi bо‘yicha tezlikda tarqaladi. Boshlang‘ich impuls, ya’ni tor nqutalarning boshlang‘ich tezligi nolga teng bо‘lsin, bu holda yechim

formula bilan ifodalanadi. Bu formuladan yechim tо‘g‘ri va teskari tо‘lqinlarning о‘rta arifmetik qiymatidan iborat ekanligi kelib chiqadi. Buning grafigini chizish uchun odatda bunday qilinadi: vaqtda funksiya grafigining ikkita bir xil nusxasini yasab, ustma-ust qо‘yiladi. Sungra ikki tomonga tezlikda suriladi. Torning vaqtdagi grafigi yuqoridagi grafiklarning о‘rta arifmetigi sifatida hosil bо‘ladi, ya’ni torning bu grafigi vaqtda surilgan grafiklar orasidagi ordinata kesmalarini ikkiga bо‘ladi.
Misol uchun boshlang‘ich vaqtda tor uchbursak shaklda bо‘lsin.

T orning vaqtlardagi grafigi tasvirlangan.
Bu chizmadan kо‘rinadiki, bо‘lganda ikki tо‘lqinning ustma-ust tushadigan qismi bor; vaqtdan boshlab, bu tо‘lqinlar ustma-ust tushmaydi va turli tomonga qarab uzoqlashadi.
Faraz qilaylik, funksiya boshlang‘ich vaqtda biror kesmada noldan farqli bо‘lib, bundan tashqarida nolga teng bо‘lsin. Yuqorida aytilganlarga asosan tayin abssissali tor nuqtasining tebranish xarakteri tо‘g‘risida gapirish mumkin. Agar bо‘lsa, boshlang‘ich vaqtda torning nuqtasi abssissa о‘qida yotgan bо‘lib, u boshlang‘ich siljishda ishtirok etmaydi. О‘ng tomonga qarab harakat qilayotgan tо‘lqin vaqtda bu nuqtaga yetib keladi va bu nuqtadan boshlab torning nuqtasi tebrana boshlaydi. Tо‘lqin tekshirirayotgan nuqtadan о‘tib ketishi bilanoq, ya’ni vaqtdan boshlab, bu yana tinch holatda bо‘ladi. vaqtda nuqtaga tо‘lqinning oldingi fronti, vaqtda esa – orqa front yetib boradi. Shunday qilib, torning tekshirilayotgan nuqtasi yoki oraliqda tebranish jarayonida ishtirok etadi. Agar bо‘lsa, nuqta orqali tо‘g‘ri va teskari tо‘lqinlar о‘tadi. Ikki tо‘lqinning oldingi fronti nuqtaning oldida joylashgan bо‘ladi; teskari tо‘lqinning orqa fronti nuqta orqali vaqtda, tо‘g‘ri tо‘lqinning orqa fronti esa vaqtda о‘tadi. bо‘lganda torning nuqtasi tinch holatda bо‘ladi, ya’ni о‘qda yotadi.

Xuddi shunga о‘xshash, bо‘lganda nuqtalar tebranish jarayonida ishtirok etadi; agar bо‘lsa, nuqta orqali teskari tо‘lqinning orqa fronti о‘tib bо‘lganda, ya’ni da, tebranishlar tugaydi.

Agar tekislikda va о‘zgaruvchilarning Dekart koordinatalar sistemasini chizib olsak, yuqorida bayon qilingan jarayonni yaqqol tasvirlash mumkin. Tekislikdagi har bir nuqta vaqtdagi abssissasi bо‘lgan torning nuqtasiga mos keladi. Xususiy holda, abssissa ( ) о‘qining nuqtalari boshlang‘ich vaqtdagi torning nuqtalariga mos keladi.

Biz yuqorida kо‘rdikki, agar bо‘lsa, nuqtadan vaqtda tо‘g‘ri tо‘lqin, agarda bо‘lsa, teskari tо‘lqin о‘tdi.
Tekislikda tо‘g‘ri chiziqlarni, ya’ni (1) tenglamaning xarakterstikalarini chizib olamiz. Bu holda yarim tekislik olti qismga ajratiladi.

Bu chizmada bitta о‘qi kо‘rsatilgan. Tebranish faqat I, II va III zonalardagina sodir bо‘ladi, II zonada tо‘g‘ri tо‘lqin, III da teskari tо‘lqin, I da esa u ham, bu ham harakat qiladi. IV va V zonalarga mos nuqtalarda hozircha tebranish yо‘q, chunki bo’larga tо‘g‘ri (IV zona), teskari (V zona) tо‘lqinlarning oldingi frontlari yetib kelmagan, VI zonaga mos nuqtalarda esa tebranish yо‘q, chunki bo’lar orqali ikkala tо‘lqinning ham orqa frontlari о‘tib ketgan.
Yuqoridagilarga asosan, qisqa qilib, tо‘lqinlar xarakterstikalar bо‘yicha tarqaladi deb aytish mumkin.
Boshlang‘ich siljish nolga teng, ya’ni bо‘lgan holni kо‘ramiz. Bu holda Dalamber formulasi
(9)
kо‘rinishga ega bо‘ladi. funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini
orqali belgilab olmiz, ya’ni

Bunga asosan (9) formula

kо‘rinishda yoziladi. Bundan kо‘rinadiki, bu holda ham tо‘g’ri va teskari tо‘lqinlarning tarqalashiga ega bо‘lamiz.

Faraz qilaylik, oraliqda noldan farqli musbat funksiya bо‘lsin, bu oraliqdan tashqarida esa nolga teng bо‘lsin. oraliqni beshta bо‘lakka ajratamiz.
2. Chegaralangan tor. Uzunligi ga teng va ikki cheti mustahkamlangan torni tekshiramiz. Bunday torning tebranishi tо‘g‘risidagi masala (1) tenglamaning (4) boshlang‘ich shartlardan tashqari

chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topishga keladi. Bu holda, ravshanki, funksiyalar faqat oraliqda berilgan. Bu masalani yechishda ham (3) Dalamber yechimidan foydalanish momkin, ammo berilagan funksiyalar oraliqda aniqlangan bо‘lgani uchun bu funksiyalar orqali topilgan va funksiyalar ham shu oraliqda aniqlangan bо‘ladi.
Demak, (3) formuladan foydalanish mumkin bо‘lishi uchun va funksiyalarni yoki tо‘la ekvivalent bо‘lgani sababli funksiyalar oraliqdan tashqari davom ettirish uchun chegaraviy shartlardan foydalanamiz. (3) formulaning о‘ng tomoniga va ni qо‘yib,

tengliklarni hosil qilamiz yoki ni orqali belgilab olsak,
(11)
tengliklarga ega bо‘lamiz. argument oraliqda о‘zgarganda (11) formulalardan birinchisi funksiyani oraliqda, ikkinchisi esa, funksiyani oraliqda aniqlaydi. Demaak, ikkovi va funksiyalar o’zunligi ga teng bо‘lgan oraliqda tо‘la aniqlanadi. Sо‘ngra, (11) dan quyidagi tengliklar kelib chiqadi:

ya’ni va lar davri teng bо‘lgan davriy funksiyalardir. Shunday qilib, va funksiyalar barcha haqiqiy lar uchun aniqlandi. Boshlang‘ich shartlarga asosan,

Bulardan darhol


tengliklar kelib chiqadi. Bu formulalar shuni kо‘rsatadiki, va funksiyalar oraliqdan oraliqqa toqlik qonuni bо‘yicha davr bilan davom etadi.
Muhim bir xulosaga tо‘xtalib о‘tamiz.
Agar va funksiyalar о‘zlarining ikkinchi tartibgacha hosilalari bilan birga uzluksiz bо‘lgandagina, (3) tenglik bilan aniqlangan funksiya (1) tenglamani qanoatlantiradi. Chegaralangan tor uchun biz hosil qilgan yechim shu xossalarga ega bо‘ladimi degan savol tug‘iladi. Bunday bо‘lishi uchun davom ettirilgan va funksiyalar

shartlarni qanoatlantirish zarur. Bu esa boshlang‘ich va chegaraviy shartlarning muvofiqlashtirish shartidan iboratdir.