Gipergeometrik tenglama, uning echimlari va gipergeometrik funksiyalar haqida

"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842

November 2021 / Volume 2 Issue 11

gipergeometrik tenglama, uning echimlari va gipergeometrik funksiyalar haqida

ramazon to‘xtaevich muhitdinov [e-mail] muxayyo abduvoxid kizi abdullaeva buxoro davlat universiteti

annotatsiya: maqolada gipergeometrik tenglamaning ta'rifi va tasnifi bayon qilingan. uning echimlari - gipergeometrik funksiyalar haqida ma'lumotlar berilgan va xossalari yoritilgan. bir qator elementar va maxsus funksiyalarning gipergeometrik funksiyalar orqali ifodalanishi bo‘yicha jadval keltirilgan.
kalit so‘zlar: gipergeometrik tenglama, gipergeometrik funksiya, elementar funksiya, maxsus funksiya, analitik davom ettirish, kanonik ko‘rinish.


About hypergeometric equation, its solutions and hypergeometric functions

Ramazan Tukhtaevich Muhitdinov [e-mail] Muxayyo Abduvoxid kizi Abdullaeva

Bukhara State University


Abstract: The article describes and classifies the hypergeometric equation. Its solutions, information about hypergeometric functions and their properties are described. A table is given for the representation of a number of elementary and special functions by hypergeometric functions.
Keywords: hypergeometric equation, hypergeometric function, elementary function, special function, analytical continuation, canonical view.

sonli usullarning keng rivojlanishi va sonli tajribaning roli oshishi munosabati bilan maxsus funksiyalarga qiziqish ham ortdi. bu ikkita holat bilan bog‘liq. birinchidan, individual hodisalarning nisbiy rolini aniqlash uchun fizik hodisaning matematik modelini ishlab chiqish va osonlikcha tahlil qilinadigan analitik shaklda echim olish uchun ko‘pincha asl muammoni soddalashtirishga to‘g‘ri keladi. ikkinchidan, kompyuterda murakkab

muammolarni echishda ishonchli va samarali hisoblash algoritmlarini tanlash uchun soddalashtirilgan masalalardan foydalanish qulay. shu sababli juda ko‘p hollarda maxsus funksiyalarga olib keladigan masalalar uchraydi. bundan tashqari, nazariy va amaliy fizikaning ko‘plab muhim masalalarini tushunish uchun maxsus funksiyalarni chuqur bilish kerak.
matematik analizning maxsus funksiyalari deb ataladigan eng ko‘p qo‘llaniladigan funksiyalar qatoriga klassik ortogonal ko‘phadlar, silindrik, sferik va gipergometrik funksiyalar kiradi. bu funksiyalar nazariyasi va ularning qo‘llanilishiga doir bir qator tadqiqotlar bag‘ishlangan. gipergeometrik funksiyalar matematikaning turli sohalarida, xususan, differensial tenglamalarni echish va boshqa maxsus funksiyalarni o‘rganishda qo‘llaniladi. gipergeometrik funksiyalar yordamida nafaqat sferik va elliptik funksiyalar, balki elementar funksiyalar ham ifodalanadi.
maqolada gipergeometrik tenglama va gipergeometrik funksiyaning ta'rifi keltirilgan, gipergeometrik funksiyaning ba'zi elementar xossalari, funksional va maxsus funksional munosabatlari bayon qilingan. bir qator elementar va maxsus funksiyalarning gipergeometrik funsiyalar orqali ifodalanishi bo‘yicha jadval keltirilgan.
ta'rif:
𝜎(𝑧)𝑢^′′ + 𝑟(𝑧)𝑢^′ + 𝜆𝑢 = 0 (1)
ko‘rinishdagi tenglama gipergeometrik tipdagi tenglama deyiladi, bunda
𝜎⁽𝑧⁾ − ikkinchi darajadan yuqori bo‘lmagan ko‘phad, 𝑟⁽𝑧⁾ − birinchi darajadan yuqori bo‘lmagan ko‘phad, 𝜆 − o‘zgarmas son.
(1) tenglama 𝜎⁽𝑧⁾ ning berilishiga qarab uch xil tipdagi kanonik
ko‘rinishga keltiriladi.

1. 
   hol. agar 𝜎⁽𝑧⁾ funksiya ikkita har ildizga ega, ya'ni 𝜎⁽𝑧⁾ = ⁽𝑧 − 𝑎⁾⁽𝑏 − 𝑧⁾ (bunda 𝑎 ≠ 𝑏) bo‘lsa, chiziqli almashtirish 𝑧 = 𝑎 + (𝑏 − 𝑎)𝑠 orqali (1) tenglamani quyidagi ko‘rinishga keltirish mumkin:
   

𝑑²𝑢 𝑟⁽𝑎 + ⁽𝑏 − 𝑎⁾𝑠⁾ 𝑑𝑢

𝑠⁽1 − 𝑠⁾ _𝑑𝑠2 +
𝑏 − 𝑎
𝑟(𝑎)
+ 𝜆𝑢 = 0.
𝑑𝑠

𝛾 =



𝑏 − 𝑎

belgilash kiritib va 𝛼, 𝛽 larni shunday tanlaymizki,
𝛼𝛽 = −𝜆,

{
𝛼 + 𝛽 + 1 = −𝑟
^′(𝑎⁾

bo‘lsin. u holda (1) tenglama quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
𝑠⁽1 − 𝑠⁾𝑢^′′ + ⁽𝛾 − ⁽𝛼 + 𝛽 + 1⁾𝑠⁾𝑢^′ − 𝛼𝛽𝑢 = 0. (2)
bu tenglama gipergeometrik tenglama deyiladi.

2.