Graflar ustida bir quvish va qochish masalasi haqida

I BOB bo’yicha xulosa

Diffеrеnsial o’yinlarini o’rganish uchun matеmatikani ba'zi tushunchalari: o’lchovli to’plam, o’lchovli funksiya, Lеbеg intеgrali, to’plamlarining algеbraik yig’indisi, to’plamni songa ko’paytirish, to’plamlarning geometrik ayirmasi kabi amallar hamda, qabariq to’plam va qabariq funksiyalar, diffеrеnsial tenglama o’lchovli funksiyani tanlash haqidagi Filippov lеmmasi kabi ko’plab tushunchalar zarur.

II BOB. GRAF USTIDA ODDIY DIFFERENSIAL O’YIN VA MISOLLAR
2.1§. Graf ustida differensial o’yinning ko’rinishi
Graflarni biz birlik katakchalardan tashkil topgan to’rli tekislik shaklida tanlab olamiz. Unda bir qochuvchi boshlang’ich nuqta bilan graflarda , tezlik bilan harakat qiladi.
Hamda bir nechta quvuvchi , quyidagi boshlang’ich nuqtalarga ega . Ularning tezliklari quyidagicha: bu yerda .
Agar ushbu tenglik bajarilsa o’yin tugagan hisoblanadi. Aks holda qochish imkoniyati mavjud hisoblanadi.
Gorizontal to’g’ri chiziq o’tkazilgan deb faraz qilaylik, qochuvchi va quvuvchilar turli yarim tekisliklarda yoki shu chiziqda bo’lsin. U holda qochuvchi cheksiz qochish imkoniyatiga ega bo’ladi va natijada qochuvchi tutilmagan hisoblanadi.
Teorema 1.1. Aytaylik bo’lsin va ushbu
shart bajariluvchi vektor mavjud bo’lsin, u holda o’yinda qochuvchi ning ko’rinishida qochish imkoniyati bo’ladi.
Isbot. Quvuvchi o’yinchining boshqaruvini ushbu ko’rinishda qaraymiz. Shunga ko’ra quyidagi differensial tenglamani yechamiz:


t bo’yicha quyidagi oraliqda integrallaymiz: [0,t]
Quyidagiga ega bo’lamiz: va o’rniga qoyib y(t) topib olamiz,

Quvuvchi o’yinchilarning boshqaruv funksiyasi ixtiyoriy o’zgaruvchili funksiya , shunga ko’ra ushbu differensial tenglamani yechamiz



t bo’yicha [0,t] oraliqda integrallaymiz

Quyidagiga ega bo’lamiz: . o’rniga qo’yib ni topamiz,

Endi ni hisoblaymiz. o’rniga qo’yamiz va . Quyidagiga ega bo’lamiz:

So’ng vekto’rga ko’paytiramiz


Bu yerda birlik vektor, va , uchun o’rinli.
Demak barcha va lar uchun ularning ayirmasi no’ldan farqli, . Shu holatda, va lar hech qachon da ustma-ust tushmaydi, demak qochish imkoniyati mavjud.
2.1 teoremani kuchaytiradingan quyidagi teorema mavjud.
Тeorema 1.2. Aytaylik endi uchun ushbu tengsizlik bajariladigan vektor mavjud bo’lsin, u holda ning boshlang’ich holatiga ko’ra qochish imkoniyati mavjud .
Isbot. Quvuvchi o’yinchilarning boshqaruv funksiyasi ixtiyoriy o’zgaruvchili funksiyalar bo’lsin. Qochuvchi o’yinchialrning boshqaruv tenglamasini quyidagi ko’rinishda qaraymiz: . U holda quyidagi differensial tenglamani yechamiz:



Ushbu , belgilashni kiritib quyidagiga
ega bo’lamiz
Vektor normasi hossasiga kora




Demak, barcha va . Bundan, barcha , va larda ekanligi kelib chiqadi. Shu tariqa xech qanday qiymatda va ustma-ust tushmaydi. Bu esa o’yin tugamasligini va qochuvchining qochish imkoniyati mavjudligini anglatadi.