Graflar ustida bir quvish va qochish masalasi haqida

3.2§ Asosiy teorema va isbotlar
Aytaylik tekislik o’qlar va to’g’ri chiziqlar yordamida katakchalarga bo’lingan bo’lsin.To’g’ri chiziqlar kesishish nuqtalarini G grafning uchlari, to’g’ri chiziqlar kesishganida xosil bo’lgan to’g’ri chiziqlar bo’laklarini G grafning qirralari, katakchalarni esa G grafning yoqlari deb olaylik (1-rasm).

Shu katakli G grafni qirralari ustida harakatlanuvchi , va nuqtalar ishtirokidagi differensial o’yinni qaraymiz.

Odatda lar quvuvchi nuqtalar, E- esa qochuvchi nuqta deb nomlanadi. Quvuvchi nuqtalarning maqsadi qandaydir va da shartga erishish, qochuvchining maqsadi aksincha, bunday bo’lishga yo’l qo’ymaslik. Bizning maqsadimiz manashu berilgan o’yin cheksiz davom etishi uchun yetarli shartlar olish.
Qulaylik uchun almashtirishni kiritamiz. U holda va yuqorida ta’riflangan (1), (2) o’yin quyidagi ko’rinishni oladi

Bu (3) o’yinda qandaydur da shart bajarilsa o’yin tugadi deyiladi. Aytaylik quvuvchilar qochuvchini 2-rasmdagi holatda qurshab turgan bo’lsin:

Qochuvchi turgan joyni koordinata boshi qilib olib vektorlarni boshini koordinata boshiga ko’chiramiz

1-teorema. Aytaylik, -I-chorakda , -IV-chorakda , -II-chorakda joylashgan bo’lsin (4-rasm),

u holda (3) o’yin cheksiz davom etishi uchun

1. 
   ; b) ; c) ; d)
   

shartlardan kamida bittasi bajarilishi yetarli.
Isbot.
Biz bu teoremani d) xol uchun isbotlaymiz. Bu holda qochuvchi boshqaruv yordamida barcha quvuvchilar taqibidan qochib keta olishini ko’rsatamiz.
Aytaylik quvuvchilar boshqaruvlar yordamida harakatlanmoqda. Quvuvchilarning qochuvchiga nisbatan joylashuvida faqatgiba 1-quvuvchi tutib olishi mumkin. Buning uchun 1-quvuvchi qandaydir vaqtdan keyin qochuvchi bilan ustma-ust tushishi yoki bo’lmasam uning oldini kesib chiqishi lozim bo’ladi. Ustma-ust tushdi degani bu quvuvchining ikkala koordinatasi ham nol bo’ldi degani va oldini kesib chiqdi degani esa shart bajarildi degani bo’ladi. Biz hozir shu shartlar bajarilsa qochuvchi shu nuqtadan qochib chiqib ketishini ko’rsatamiz:


Quvuvchi o’z boshqaruvi bilan qochuvchi bilan ustma-ust tushdi yoki oldini kesib chiqdi degani uning koordinadatasi nol bo’ldi va shart bajarildi degani bo’ladi. Demak,

bo’lganda o’yin cheksiz davom etmas ekan. Aksincha shart bajarilganida esa o’yin cheskiz davom etar ekan.