Граничные условия для нормальных составляющих векторов

Граничные условия для векторов магнитного поля.
Пусть в пространстве имеется некая граница раздела сред. Выделяем на ней элементарную площадку S. Размеры малы настолько, что в пределах этой площадки нормальная компонента  распределена равномерно. Строим на основании этой площадки цилиндр. Применим к цилиндру закон Гаусса:

	(6.4.6)
	(6.4.7)

Рисунок. К выводу граничных условий.
В этих интегралах направление  совпадает с внешней нормалью к цилиндру. Устремим высоту цилиндраh0 так, чтобы S1 и S2 находились в разных средах. Тогда:

Так как  имеет конечные значения, то . В итоге получим

,

(6.4.8-9)

Из (8) и (9) следует, что нормальная компонента вектора магнитной индукции непрерывна при прохождении границы сред. Тангенциальная компонента вектора напряженности магнитного поля непрерывна только при отсутствии на границе сред поверхностного тока. В другом случае компонента Н претерпевает разрыв, который определяется отношением магнитных проницаемостей сред.
Условия для касательных составляющих в и н. Поверхностный ток
Условия для касательных составляющих магнитных векторов выводятся также как и для электрических. Через нормаль проводим плоскость р. На линии пересечения выделяем элемент длины l, малый настолько, чтобы в пределах этого участка касательные составляющие  в 1 и 2 средах были распределены равномерно. На этом отрезке строим контур так, чтобы участки контура были в разных средах. Положительное направление обхода контура связано с этими векторами правилом правого винта  . Применим к контуру первое уравнение Максвелла в интегральной форме

(6.4.10)

Левую часть представим в виде суммы интегралов по участкам контура
;
на участках АВ и СD может быть представлен

Устремим h0 так, чтобы участки контура находились в разных средах. Тангенциальная составляющая  распределена равномерно.


Рисунок 6.4.3 - Условия для касательных составляющих В и Н.
Так как векторы  в 1 и 2 средах, а также вектор имеют конечную величину, то
.
В результате предельного перехода, примененного к соотношению , получим  .

Рисунок 6.4.4 – Граничные условия при наличии поверхностного тока.
Пусть на границе раздела S отсутствуют поверхностные токи, тогда правая часть соотношения обращается в нуль, получаем

(6.4.11)

При отсутствии поверхностных токов тангенциальная компонента  непрерывна при прохождении границы раздела сред.
2. Пусть на границе раздела сред S имеются поверхностные токи, тогда

Плотность поверхностного тока распределена в пределах l равномерно (это условие является следствием исходного предположения о равномерном распределении тангенциальной составляющей  в пределахl.
С учетом приведенных соотношений предельный переход приведет к следующему соотношению:

(6.4.12)

При наличии поверхностных токов на границе раздела тангенциальная составляющая  претерпевает разрыв, величина которого определяется плотностью поверхностного тока. Используя взаимосвязь единичных векторов, соотношение можно переписать в векторной форме:
Для магнитной индукции:

,	(6.4.13-14)

Из соотношений (12), (13) следует, что тангенциальные компоненты вектора магнитной индукции на границе раздела претерпевают разрыв. Наличие поверхностного тока только изменяет величину разрыва, увеличивая или уменьшая ее. Понятие поверхностного тока - это удобная идеализация, упрощающая решение задач. Ток протекает в конечном по величине слое. Причем тангенциальная составляющая  непрерывна во всех точках внутри этого слоя, но по разные стороны этого слоя тангенциальная составляющая имеет различные значения. Поэтому, когда мы переходим к поверхностным токам, мы вынуждены предположить скачкообразное изменение тангенциальной составляющей.