Gulmirza Xudoyberganov, Azizjon Kenjabaevich Vorisov, Hojakbar Turobovich Mansurov, Bohodir Allaberdievich shoimqulov

6-misol. Faraz qilaylik, va bo`lsin. U holda
bo`lishi isbotlansin.
◄ SHunday natural sonni olamizki bo`lsin. endi bo`lishini e`tiborga olib, ya`ni deymiz. Unda Bernulli tengsizligiga ko`ra
bo`lib, da

bo`ladi. Bu holda

deyilsa, uchun

bo`ladi. Demak, . ►

7-misol. Ushbu
tenglik isbotlansin.
◄ Ravshanki, va uchun
bo`ladi. Agar bo`lishini e`tiborga olsak, 6-misolga ko`ra

ekanini topamiz. Unda ta`rifga ko`ra 1 soni uchun

bo`ladi. SHunday qilib, uchun bo`ladi. Demak, . ►


8-misol. Ushbu
ketma-ketlikning limiti mavjud emasligi isbotlansin.
◄ Teskarisini faraz qilaylik. Bu ketma-ketlik limitga ega bo`lsin. Unda ta`rifga binoan,
bo`ladi.
Ravshanki, juft bo`lganda toq bo`lganda , ya`ni bo`ladi. Bu tengsizliklardan foyda-lanib topamiz:

.
Bu tengsizlik bo`lgandagina o`rinli. Bunday vaziyat

sonining ixtiyoriy bo`lishiga zid. Demak, ketma-ketlik limitga ega emas. ►

Teorema. Agar ketma-ketlik limitga ega bo`lsa, u yagona bo`ladi.
◄ Teskarisini faraz qilaylik. ketma-ketlik ikkita va limitlarga ega bo`lsin:

Limitning ta`rifiga ko`ra

bo`ladi.
Agar va sonlarining kattasini desak, unda da
bo`lib

bo`ladi.

Ravshanki, .
Demak, da bo`lib, undan bo`lishi kelib chiqadi. ►

Mashqlar
1. Ketma-ketlik limiti ta`rifidan foydalanib ushbu
ketma-ketlikning limiti topilsin.
2. Agar bo`lsa, u holda ushbu
ketma-ketlikning limiti ham ga teng bo`lishi isbotlansin.
3. Agar bo`lsa, u holda
bo`lishi isbotlansin.

http://hozir.org