Gulmirza Xudoyberganov, Azizjon Kenjabaevich Vorisov, Hojakbar Turobovich Mansurov, Bohodir Allaberdievich shoimqulov

2⁰. Sonlar ketma-ketligining limiti. Aytaylik, son hamda ixtiyoriy musbat son berilgan bo`lsin.

6-ta`rif. Ushbu
to`plam nuqtaning - atrofi deyiladi.
Faraz qilaylik ketma-ketlik va soni beril-gan bo`lsin.

7-ta`rif. Agar ixtiyoriy son olinganda ham shunday natural soni mavjud bo`lsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha natural sonlar uchun

(3)
tengsizlik bajarilsa, (ya`ni

bo`lsa), son ketma-ketlikning limiti deyiladi va

yoki da
kabi belgilanadi.

Ravshanki, yuqoridagi (3) tengsizlik uchun
ya`ni, bo`ladi. SHuni e`tiborga olib, ketma-ketlikning limitini quyidagicha ta`riflasa bo`ladi.


8-ta`rif. Agar nuqtaning ixtiyoriy atrofi olinganda ham ketma-ketlikning biror hadidan keyingi barcha hadlari shu atrofga tegishli bo`lsa, son ketma-ketlikning limiti deyiladi.
YUqorida keltirilgan ta`riflardan ko`rinadiki ixtiyoriy musbat son bo`lib, natural soni esa ga va qaralayotgan ketma-ketlikka bog`liq ravishda topiladi.


2-misol. Ushbu
ketma-ketlikning limiti c ga teng bo`ladi.
◄Haqiqatan ham, bu holda ga ko`ra deyilsa, unda uchun bo`ladi. Demak, ►
3-misol. Ushbu
ketma-ketlikning limiti 0 ga teng bo`lishi isbotlansin:

.
◄ Ravshanki,

bo`lib, tengsizlik barcha bo`lganda o`rin-li. Bu holda

deyilsa, ( sonidan katta bo`lmagan uning butun qismi), unda uchun

bo`ladi. Ta`rifga binoan

. ►

4-misol. Aytaylik, bo`lsin. U holda
bo`lishi isbotlansin.
◄ deylik. Unda va Bernulli tengsiz-ligiga ko`ra
bo`lib, da

bo`ladi. Demak,

tengsizlik barcha

bo`lganda o`rinli. Agar

deyilsa, ravshanki, uchun

bo`ladi. Demak,

►

5-misol. Ushbu

ketma-ketlikning limiti 1 ga teng bo`lishi isbotlansin.
◄ Ixtiyoriy son olamiz. So`ng ushbu
tengsizlikni qaraymiz. Ravshanki,

Unda yuqoridagi tengsizlik

ko`rinishga keladi. Keyingi tengsizlikdan

bo`lishi kelib chiqadi. Demak, limit ta`rifidagi sifatida olinsa ( ga ko`ra topilib), uchun bo`ladi. Bu esa

bo`lishini bildiradi.►