Guruh: Bajardi: farg’ona 2023 mavzu : “ Matritsalarni lu va ldu ko`paytmalarni yoyish va ularni tadbiqlarini batafsil tushuntirib ber ”

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA KOMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI
Muhammad Al-Xorazmiy nomidagi Toshkent axborot texnologiyalari universiteti Farg’ona filiali


Differensial tenglamalar fanidan
Mustaqil ish
Mavzu : Chiziqli differensial tenglamalar va uni yechishning Lagranj usuli va misollar


Guruh:
Bajardi:
FARG’ONA 2023


MAVZU : “ Matritsalarni LU va LDU ko`paytmalarni yoyish va ularni tadbiqlarini batafsil tushuntirib ber ”
Reja:

1. 
   LU va LDU ko'paytmalari nima
   
2. 
   Dc
   
3. 
   Dc
   

LU va LDU ko'paytmalari matritsalarning elimizga berilgan qiymatlarga ko'rsatmalari orqali yoyilishi uchun xizmat qiladi.

LU ko'paytma matritsaning L va U ko'mponentlari tarkib etilgan bo'lgan ko'paytmani ayirib olishni ifodalaydi. Ya'ni, agar biz bir matritsni LU ko'paytmaga olishni xoxlasak, biz o'zimizni L va U ko'paytmani ayirib chiqamiz, ya'ni:

A = LU

Bu yerda L, yozilgan matritsda pastki yotiq ko'paytmalarni ko'rsatadi, U esa yuqori yotiq ko'paytmalarni.

Matritstagi qiymatlarni ko'pyatmilarga ayirib chiqish uchun, biz matrits ustida orqaga yo'l olamiz, ya'ni birinchi qatordan boshlab yuqori yotiq ko'paytmalarni aniqlab chiqamiz, keyin esa ikkinchi qator orqali pastki yotiq ko'paytmani ko'rishni davom ettirishga harakat qilamiz.

LDU ko'paytma esa matritsni L, D va U ko'mponentlari tarkib etilgan ko'paytmaga aylanishi uchun LU ko'paytmadan ko'ra bir qancha qo'shimcha funksiyalarni yaratadi. LDU ko'paytma, bitta yolg'on ko'paytmaning o'rniga bitta katta va bitta kichik ko'paytma qo'shadi. Ya'ni,

A = LDU

L pastki yotiq ko'paytmani ko'rsatadi, D asosiy diagonal elementlar ko'paytmasi bo'lib, U esa yuqori yotiq ko'paytmalarni o'z ichiga oladi.

LDU ko'paytmada ko'rsatilgan qo'shimcha ko'paytmalar, aholi ko'pira ko'rinadigan uchta amalni o'z ichiga oladi:

1. L matrits tarkibidagi barcha elementlar 1 ga teng bo'ladi, chunki pastki yotiq ko'paytmaning elementlari barcha 1-larga teng.

2. D matrits diagonal elementlari orqali aylanadi. Bu diagonal ko'paytmaning elementlari o'zidan boshqa har qanday elementga teng emas.

3. U matrits tarkibi, LU ko'paytmada tarkib etilgan yuqori yotiq ko'paytmalarni olish uchun ko'rsatuvni oladi.

LDU ko'paytmasi odatda Gauss yechimining amaliyotlarida qo'llaniladi.

LU va LDU ko'paytmalar matematikda ko'p joyda qo'llaniladi.

LU ko'paytmasi asosan matritslarning yechimlarini topishda ishlatiladi. Misol uchun, bizning quyidagi yechimlar sistemasini ko'rib chiqamiz:

3x + 2y = 5

4x - y = 6

Bu yechimlar sistema, u eng yaxshi holatda yechimlarini ko'proq hisoblashda yordam beradi. Agar biz matritsning LU ko'paytmalarini topamiz, uni o'zaro ko'paytirsak, bitta yechimlarni ko'rsatadigan matritsni olishimiz mumkin:

[3 2] [1 0] [3 2]

[4 -1] = [4/3 1] [0 -5/3]

Bu yerda bitta yechimlarni ko'rsatadigan matrits ularning ko'paytirilgan matritsni chiroyli shaklda ko'rsatib beradi.

LDU ko'paytmasi esa matritsning yechimlarini olishga ishlatiladi, shuningdek, matritsning eigenvalues va eigenvectors(sahna qiymatlari va vektoralari)ni topishda ham qo'llaniladi.

LDU ko'paytmasi quyidagi shaklda ifodalangan bo'ladi:

A = LDU
L pastki yotiq ko'paytmani ko'rsatadi, D asosiy diagonal elementlar ko'paytmasi, U esa yuqori yotiq ko'paytmalarni o'z ichiga oladi.

Bu ko'paytma, matritsning yechimlarini yagona ko'paytmada ifodalaydi, bu esa ularni aniqlashda yordam beradi.

LDU ko'paytmalar yana bir foyda - ular odatda LU ko'paytmadan aniqlanib olinadi, ya'ni LDU ko'paytma, LU ko'paytmaga qo'shimcha asosiy diagonal ko'paytmaning qo'shimcha elementlari hamda yuqori yotiq ko'paytmalarini qo'shish orqali olish mumkin.

LDU ko'paytmalar quyidagi formulalar orqali topiladi:

Lii = 1

Ui,j = A(i,j) - Σ(L(i,k)U(k,j))

Dii = Uii

Bu yerda A(i,j) matritsning (i,j) elementiga teng, L(i,k) pastki yotiq ko'paytmaning (i,k) elementi va U(k,j) yuqori yotiq ko'paytmaning (k,j) elementiga teng emasligini ifodalaydi.