Guruh: di 11-22 Fan nomi: Diffrenksiyal tenglama

Muxammad al-Xorazmiy nomidagi Toskent
axborot tenalogiyalari
unversiteti

Mustaqil ish-1

Guruh: DI 11-22
Fan nomi: Diffrenksiyal tenglama
Bajardi: Komilov Sh
Qabul qildi: Soipnazorov J

Qarshi 2023

Matematik yichilishi:

Berilgan differentsial tenglama:

y' = 3x + 1,9y^2 - 5xy

Bu chiziqli bo'lmagan birinchi tartibli differentsial tenglama. Biz buni o'zgaruvchilarni ajratish usuli yordamida hal qilishimiz mumkin.

Buning uchun tenglamaning qarama-qarshi tomonidagi x va y o'zgaruvchilarni ajratib, ikkala tomonni integrallashimiz mumkin:

dy / (3x + 1.9y^2 - 5xy) = dx

Chap tomonning maxrajidagi y ni koeffitsientga ajratib, tenglamani soddalashtirishga harakat qilishimiz mumkin:

dy / y (3x - 5y + 1,9y) = dx

dy / y (3x - 3,1y) = dx

Keyinchalik, biz ikkala tomonni tegishli o'zgaruvchilarga nisbatan birlashtira olamiz:

∫ dy / y(3x - 3.1y) = ∫ dx

Chap tomondagi integralni soddalashtirish uchun qisman kasr parchalanishidan foydalanishimiz mumkin:

1 / y (3x - 3,1y) = A / y + B / (3x - 3,1y)

Ikkala tomonni y ga (3x - 3,1y) ko'paytirsak:

1 = Ay(3x - 3,1y) + B*y

y = 0 o'rnatish B = 1 ni beradi. Buni tenglamaga qayta o'rniga qo'yish va x = 0 o'rnatish A = 10/31 ni beradi.

Shunday qilib, integral quyidagicha bo'ladi:

∫ (10/31) dy / y - ∫ dy / (3x - 3,1y)

Birinchi integralni yechish quyidagini beradi:

(10/31) ln|y| - ln|3x - 3,1y| = x + C

Bu erda C - integratsiya konstantasi.

Ushbu ifodani logarifmik identifikatsiyalar yordamida soddalashtirishimiz mumkin:

ln|y^(10/31) / (3x - 3,1y)| = x + C

Ikkala tomonning eksponentsialni olish quyidagilarga olib keladi:

|y^(10/31) / (3x - 3,1y)| = e^(x+C) = Ce^x, bu yerda C doimiy.

Biz y ni ijobiy va salbiy holatlarni ko'rib chiqish orqali hal qilishimiz mumkin:

y^(10/31) = C(3x - 3,1y)

y^(10/31) + C3.1y = C3x

Keyin y ni raqamli yoki grafik usullar yordamida hal qilishimiz mumkin. Yechim x ning qandaydir qiymatida y ning boshlang‘ich shartiga bog‘liq bo‘ladi.

C++ yozilgan kod:

#include

#include

using namespace std;

double f(double x, double y) {
return 3*x + 1.9*y*y - 5*x*y;
}

int main() {

double x0, y0, h, xn, yn, k1, k2, k3, k4;
int n;

cout << "Enter the initial value of x: ";

cin >> x0;
cout << "Enter the initial value of y: ";
cin >> y0;
cout << "Enter the value of h: ";
cin >> h;
cout << "Enter the number of steps: ";
cin >> n;

xn = x0;
yn = y0;

cout << "x\ty" << endl;
cout << x0 << "\t" << y0 << endl;

for (int i = 1; i <= n; i++) {

k1 = h * f(xn, yn);
k2 = h * f(xn + h / 2, yn + k1 / 2);
k3 = h * f(xn + h / 2, yn + k2 / 2);
k4 = h * f(xn + h, yn + k3);

yn = yn + (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6;

xn = xn + h;

cout << xn << "\t" << yn << endl;

}

return 0;

}