To’rtinchi darajali tenglama va uni yechish usullari

TO’RTINCHI DARAJALI TENGLAMA VA UNI YECHISH USULLARI
Kompleks sonlar maydonidagi 4-darajali tenglamani ikkala bosh koeffitsientga bo’lib, uni

shaklga keltira olamiz.
4-darajali tenglamani yechishning ko’pgina usullari bor. Biz ularni ba’zilarini ko’rib o’tamiz.

1. 
   Ferrari usuli. (1) tenglamaning keyingi uchta hadini o’ng tomonga o’tkazib, ikkala tomonga ni ko’shamiz. Natijada
   

hosil bo’ladi. Endi, so’nggi tenglamaning ikkala tomoniga

yig’indini qo’shib ushbuga ega bo’lamiz:

Yangi noma’lumni (2) tenglamaning o’ng tomoni kvadratdan ya’ni to’liq kvadratdan iborat bo’lib qoladigan qilib tanlaymiz. Buning uchun:

deb olishimiz kerak.
Ushbu

ayniyatga asosan, quyidagi natijaga kelamiz:

qavslarni ochib, ning darajalariga nisbatan o’xshash hadlarni yig’sak,

shaklda 3-darajali tenglamaga kelamiz. Ko’ramizki, noma’lumning qiymatlari – shu (5) tenglamaning ildizlaridan iborat. Bu tenglamani hal qiluvchi yoki (1) tenglamaning rezolventasi deyiladi. Agar (6) tenglamaning birorta ildizini bilan belgilasak, bu qiymatda (5) tenglik bajarilib, (4) tengliklarga asosan, (2) tenglama quyidagi

yoki

ko’rinishni oladi va demak, berilgan 4-darajali tenglama ikkita:

kvadrat tenglamaning ko’paytmasiga yoyiladi. Bu tenglamalarni yechib, berilgan 4-darajali tenglamaning to’rtta ildizini topamiz.

2. 
   Lobachevskiy usuli.
   

almashtirish yordami bilan (1) tenglamani

shaklga keltiramiz. Buni 4-darajali tenglamaning normal shakli deyiladi. Bu normal tenglamaning istalgan ildizini bilan belgilab, ushbu

yordamchi tenglamani tuzamiz, bunda shuni aytish kerakki, ning qiymati bizga kerak bo’lmaydi, ning qiymati esa keyinroq aniqlanadi. Agar (9) tenglamada ni bilan almashtirsak

tenglama hosil bo’ladi. So’nggi (9) va (10) tenglamalarni o’zaro ko’paytirib,

tenglamani hosil qilamiz, bunda
va , , .
Bu tengliklarning 1 va 3-sidan va ni aniqlab, 2-siga qo’ysak,

tenglama kelib chiqadi. Bu tenglamaning xuddi yuqoridagi (8) tenglamadan iborat bo’lishini talab qilib,

deymiz, bundan

hosil bo’ladi.

tengliklarga asosan,

deb hisoblashimiz mumkin. (12) tengliklardan foydalanib, (11) tenglamani

shaklga keltiramiz. Bu – hal qiluvchi tenglama yoki (8) tenglamaning rezalventasidir. Agar bilan (15) tenglamaning ildizlarini belgilasak,

ga asosan,

sonlar (9) yordamchi tenglamaning ildizlarini ifodalaydi.
Shu sababli


shartlar bajariladi.
Ko’ramizki qiymatlar

shartni qanoatlantiradigan bo’lsa,



qiymatlar ham bu shartni qanoatlantiradi. Demak, (8) tenglamaning ildizlari quyidagilardan iborat bo’ladi:

Bu qiymatlarni (7) ga qo’yib, (1) tenglamaning ildizlarini topamiz. Lobachevskiy usulidan oz farq qiladigan yana bitta usulni ko’rib o’taylik.

3. 
   Eyler usuli. Bunda ham (1) tenglamani avval (7) almashtirish yordami bilan normal (8) shaklga keltiramiz:
   

Endi ni uchta noma’lumning yig’indisi sifatida yozamiz:

Ikkala tomonni kvadratga ko’tarib, ushbuni hosil qilamiz:

Ikki marta kvadratga ko’tarib, quyidagini topamiz:

Bunda:

yoki, (16) ga asosan,

Bu ifodani (17) ga qo’yib
(18)
tenglamaga kelamiz. Yangi noma’lumlarning qiymatlarini (18) xuddi (8) tenglamaning o’zidan iborat bo’lib qoladigan qilib aniqlaylik. Buning uchun



yoki bundan:



bo’lishi kerak. Agar

deb olsak, (19) quyidagicha yoziladi

Bu (21) tengliklar qiymatlar quyidagi 3-darajali tenglamaning ildizlari ekanini ko’rsatadi:

Bu xuddi hal qiluvchi tenglama yoki (8) tenglamaning rezolьventasidan iborat. (22) tenglamani yechib ning qiymatlarini (20) tenglikdan topamiz:

Lekin ning qiymatlari

yoki

shart bajariladigan ishoralar bilan olish kerak. Agar qiymatlar (23) shartni qanoatlantirsa, uni

qiymatlar ham qanoatlantiradi.
Demak, (16) ga asosan (8) tenglamaning ildizlari quyidagilardan iborat:

Nihoyat, bularni (7) ga qo’yib (1) tenglamaning ildizlarini hosil qilamiz.