Guruh talabasi Nazirjonov Shohzodning Analitik geometriyafanidan

2.3-§.Dekаrt kооrdinаtаlаrni аlmаshtirish
Bir to’g’ri burchаkli kооrdinаtаlаr sistemаsidаn ikkinchi dekаrt kооrdinаtаlаr sistemаsigа o’tish fоrmulаsi (13) ko’rinishdа bo’lаdi, chunki to’g’ri burchаkli dekаrt kооrdinаtаlаr sistemаsi аffin kооrdinаtаlаr sistemаsining хususiy hоli.
Bu fоrmulаdаgi kоeffitsientlаr birlik vektоrning оrtоnоrmаllаshgаn bаzisgа nisbаtаn kооrdinаtаlаri bo’lаdi:

Bu tenglikni vektоrlаrgа skаlyar ko’pаytirib tоpаmiz:

Tоpilgаn qiymаtlаrni (13) fоrmulаgа qo’ysаk, dekаrt kооrdinаtаlаr sistemаsini аlmаshtirish fоrmulаsini hоsil qilаmiz.


, ,
(20)
To‘g‘ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini almashtirish.
E ndi dekart koordinatalar sistemasini almashtirishga to’xtaymiz. Bir to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasidan ikkinchi dekart koordinatalar sistemasiga o’tishda (14.3) formuladan foydalanamiz, lekin o’tish matritsasining ( ) elementlariga qo’shimcha shartlar qo’yiladi.
Tekislikda - eski - yangi dekart koordinatalar sistemasi bo’lsin.
(15.1)
bo’lsin, bu yerda ikki hol o’rinli bo’ladi.

1. 
   Eski va yangi koordinatalar sistemasi bir xil yo’nalishga ega (30-chizma).
   

(6.6) tenglikni navbat bilan va vektorlarga skalyar ko’paytirib quyidagilarga ega bo’lamiz.

topilgan qiymatlarni (14.3) ga qo’yib,
(15.2)
Yo’nalishlari bir xil bo’lgan dekart koordinatalar sistemasini almashtirish formulasiga ega bo’lamiz.

2. 
   E ski va yangi koordinatalar sistemasi turli yo’nalishga ega bo’lsin. (31-chizma).
   

Bunie’tiborgaolib, (15.1 6.6) ni va vektorlarganavbatibilanko’paytirsak, ushbugaegabo’lamiz.
Topilgan qiymatlarni (6.4) ga qo’yib,
(15.3)
Yo’nalishlari har xil bo’lgan dekart koordinatalar sistemasini almashtirish formulasiga ega bo’lamiz.

2. 
   va (15.3) formulalarni bitta
   

(15.4)
formulaga birlashtirish mumkin, bu yerda , yo’nalishlar bir xil bo’lsa , agar har xil bo’lsa ga teng.
Agar (15.5) da x₀=y₀=0 bo’lsa , u holda
(15.5)
formulani dekart koordinatalar sistemasini O nuqta atrofida burish formulasi deyiladi.
1-misol. Ikkita va ( ) affin reperlar berilgan bo’lib, bunda bo’lsin. N nuqtaning eski reperga nisbatan koordinatalari x= 2, y=1 ekanligi ma’lumligini bilgan holda bu nuqtaning yangi reperga nisbatan x’,y’ koordinatalarini toping.
Yechish Berilgan: Bu qiymatlarni (6.4) ga qo’yib quyidagilarga ega bo’lamiz.

bu sistemani yechib
Yangi sistemada N nuqtaning koordinatalari
Orientasiya: Bir vektordan ikkinchisiga qisqa burilish yo‘nalishi soat strelkasi yo‘nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, bu vektorlar o‘ng ikkilik, aks holda chap ikkilik tashkil qiladi deyiladi. Bazis sifatida biror ikkilik tanlansa, biz orientatsiya tanlab olingan deb hisoblaymiz. Bizga { va { ortonormal bazislar berilgan bo'lsin. Bu bazislar yordamida kiritilgan Dekart koordinatalar sistemasilarini mos ravishda O xy va O 'x'y' bilan belgilaylik. Nuqtaning “eski” va “yangi” koordinatalari orasidagi bog'lanishni topamiz. “Yangi” koordinatalar sistemasi markazining “eski” koordinata sistemasidagi koordinatalarini (a, b) bilan belgilaylik.

Fazoda M nuqta berilgan bo‘lib,uning Oxy va O 'x'y' sistemalardagi koordinatalari mos ravishda (x ,y ) va {x',y') juftliklardan iborat bo'lsin.
Biz quyidagi tengliklarga ega bo`lamiz:

= x + y , O 'M = x' ' + y ’ ' , = a + b
Har bir vektorni { } bazis orqali ifodalash mumkinligi uchun

(1)
munosabatlarni hosil qilamiz. Bu ifodalarni
= ' + , =
tengliklarga qo‘yib
=
tenglikni hosil qilamiz.
Bazis vektorlari { } chiziqli erkli oilani tashkil etganligi uchun yuqoridagi munosabatdan
x = a₁₁x'+a₁₂y'+a
y=a₂₁x'+a₂₂y'+b (2)
formulalami olamiz. Endi a_ij koeffitsientlarni topish uchun ikkita holni qaraymiz.
Birinchi hol: { } va { } bazislar bir xil orientatsiyaga ega:
Bu holda agar bilan va vektorlar orasidagi burchakni belgilasak, va ' vektorlar orasidagi burchak ham ga teng bo‘ladi. Yuqoridagi (1) tengliklarning har ikkalasini va vektorlarga skalyar ko‘paytirib,
, , ,
formulalarni olamiz. Agar { } va { } bazislar har xil orientatsiyaga ega bo‘lsa, va vektorlar orasidagi burchak ga teng bo'ladi. Bu holda (1) tengliklarning har birini vektorlarga skalyar ko'paytirib , , , formulalarni hosil qilamiz. Bu formulalarni (2) formulalarga qo‘yib, mos ravishda quyidagi ikkita formulalarni olamiz:


(3)

Bu holda o’tish determinanti uchun

tenglik o'rinli.
Ikkinchi holda bazislaming orientatsiyalari har xil va koordinatalarni almashtirish formulalari

ko‘rinishda bo'ladi.
Bu holda o‘tish determinanti uchun '

tenglik o‘rinli bo'ladi. Demak, koordinatalar sistemesini almashtirganimizda o‘tish matritsasining determinanti musbat bo‘lsa, oriyentatsiya o'zgarm aydi. Agar o‘tish matritsasining determinanti manfiy bo‘lsa, oriyentatsiya qarama- qarshi oriyentatsiyaga o‘zgaradi.

Xulosa
Xulosa qilib aytganda , mazkur kurs ishi fazoda to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasi, koordinatalarni almashtirish , xususan, affin va dekart koordinatalar sistemalarini almashtirishga bag’ishlangan bo’lib, unda yuqorida sanab o’tilgan mavzular ilmiy asoslar yordamida yoritib berilgan.
Tashqaridan qaraganda matematikani akademik litseylarda o’qitish juda sodda va asosan quyidagi ikki muammodan iboratdek ko’rinadi: birinchidan, o’quv rejasiga ko’ra ajratilgan soatlarda bayon etish mumkin bo’lgan materialni ajratish va ikkinchidan, uni o’quvchilarga mantiqiy bayon etish va buning natijasida akademik litsey pedagogikasi mazkur masalalar bilangina chegaralanadi degan tasavvur paydo bo’ladi. Lekin aslini olganda tanlab olingan o’quv materialini o’qitish muammolari bir muncha murakkabdir. Tavsiya etilgan o’quv adabiyotlaridan foydalanib o’quv materialini og’zaki bayon etish jarayonini umumiy nuqtai nazardan baholash uning quyidagi asoslarga ko’ra shakllanganligini ko’rsatadi: matematik nazariyalar boshlang’ich tushunchalar asosida formal mantiq qoidalariga ko’ra qurilganligiga asosan, ta’lim berish jarayoni ham asosan matematik nazariyaning formal-mantiqiy tomonlarini talabalarga bayon etishdan iborat bo’lishi kerak va bu jarayon qisqa vaqt ichida, ketma-ketlik bilan, ortiqcha so’zlarsiz, talabalar bilim darajasiga javob berishi zarur.
O’zbekiston Respublikasida amalga oshirilayotgan islohotlarning ijobiy natijalaridan eng muhimi sifatida davlat tomonidan yosh avlodga ta’lim berish va tarbiyalash borasida qilinayotgan ishlarni alohida ta’kidlash lozim.
Albatta har tomonlama kamol topgan yosh avlodni tarbiyalash, ularga zamonaviy bilimlarni berish, buning uchun esa o’qitishning ilg’or pedagogik texnologiyalaridan qay darajada unumli foydalanishga bog’liq.
O`zbekiston Respublikasining Birinchi Prezidenti I.A.Karimov Oliy Majlisning XIV sessiyasida so`zlagan nutqida kadrlar tayyorlashning ahamiyatiga izoh berib shunday degan edi:
“Biz oldimizga qanday vazifa qo’ymaylik, qanday muammoni yechish zaruriyati tug’ilmasin, gap oxir oqibat, baribir kadrlarga borib qadalaveradi. Mubolag`asiz aytish mumkinki, bizning kelajagimiz, mamlakatimiz kelajagi, o`rnimizga kim kelishiga yoki boshqacharoq qilib aytganda, qanday kadrlar tayyorlashimizga bog`liq.
…Mamlakatimiz kelajagi uchun Oliy Majlisning IX sessiyasida qabul qilingan “Kadrlar tayyorlash bo`yicha milliy dasturi”ning amalga oshirilishi juda ham muhim ahamiyatga ega.
…Yuqori malakali pedagog kadrlar tayyorlash va qayta tayyorlashga alohida e’tibor berish lozim. Kadrlar tayyorlashning sifati, erkin fikrlovchi shaxs – fuqaroni kamol toptirishga ertaga sinf xonalar va auditoriyalarda kimlar dars va saboq berishiga bog`liq”.
Darhaqiqat, barkamol inson shaxsining shakllanishi bevosita uzluksiz ta’lim jarayonida amalga oshadi. Shunday ekan har jabhada muvaffaqiyatga erishish, jumladan, yuqori malakali kadrlar tayyorlashda milliy dasturni o`rni va ahamiyati beqiyosdir.