Haqiqiy sonlar. Irratsional son tushunchasi. Davriy bulmagan cheksiz o’nli kasr. Reja

HAQIQIY SONLAR. IRRATSIONAL SON TUSHUNCHASI. DAVRIY BULMAGAN CHEKSIZ O’NLI KASR.
Reja:

1. Irratsional sonlar.

2. Haqiqiy sonlar ustida amallar bajarish
Irratsional sonlar. _{ } kasr ko’rinishiga keltirib bo’lmaydigan sonlarga aytiladi.Ya’ni qisqarmaydigan kasrlar irratsional sonlar deb yuritiladi.
Barcha ratsional va irratsional sonlar birgalikda haqiqiy sonlar deyiladi. Haqiqiy son-lar to’plami R orqali belgilanadi..
1-misol. Tomoni 1 ga teng bo’lgan kbadratning d diagonali hech qanday ratsional son bilan ifodalanmasligini isbot qilamiz.
Isboti. Pifagor teoremasiga muvofiq d²=1²+1²=2 . Diagonalini _{ } qisqarmas kasr ko’rinishida yozish mumkin, deb faraz qilaylik. U holda (_{ })²=2 yoki m²=2n². Bunga ko’ra m – juft son, m=2k. Shuningdek, (2k)²=2n² yoki 2k=n, ya’ni n juft son. _{ } kasrning surat va maxraji 2 ga qisqarmoqda, bu esa qilingan farazga zid. Demak, d ning uzunligi, ya’ni _{ } ratsional son emas.
Sonlarning ildiz ishorasi orqali yozilishi ularning aniq bilishga yetarli emas. Masalan, hisoblashsiz _{ } va _{ } lardan qaysi birining kattaligini aytish qiyin. Bu holda _{ }=1,442…,_{ }=1,4142… kabi davriy bo’lmagan cheksiz o’nli kasr ko’rinishdagi yozuv oydinlik kiritadi, lekin hisoblashlarni qiyinlashtiradi. Shunga ko’ra irratsional sonni unga yaqin ratsional son orqali tadribiy ifodalashga harakat qilinadi.
Haqiqiy sonlarning istalagan aniqlikdagi o’nli yaqinlanishlarining kami va ortag’i bilan oilinadigan ma’lum qoidalariga ko’ra aniqlanadi.
Agar _{ } biror haqiqiy son, a- o’sha _{ } sonning kami bilan olingan biror qiymati, b esa _{ } sonning ortig’I bilan olingan qiymati bo’lsa, u holda a<_{  } sonning ortig’i bilan olinadigan qiymatlari shu sondagi o’nli ishora raqamining oxirgisiga 1 ni qo’shish vositasi bilan hosil bo’ladi.
1-tarif. a va b sonlarining yig’indisi deb, ularning kami bilan olingan har qanday qiymatlari yig’indisidan katta , lekin ortig’i bilan olingan har qanday taqribiy qiymatlari yig’indisidan kichik bo’lgan uchinchi bir c songa aytiladi. Ya’ni
a_n+b_n≤c<_{ } tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Misol. a=3,3173… va b=1,1236… sonlarining yig’indisini toping.
Yechish. Berilgan sonlarning ifodasidan a₄=3,3173; a₄^/=3,3174; b₄=1,1236 , b_n^/=1,1237 bo’lishi kelib chiqadi. Shuning uchun
a₄+ b₄=3,3173+1,1236=4,4409≤a+b< a₄^/+ b_n^/=3.3174+1,1237=4,4411.
Shunday qilib qilib, 0,001 aniqlikkacha a+b=4,441 natijani olamiz.
2- ta’rif. a va b manfiy bo’lmagan haqiqiy sonlarning ko’paytmasi deb, n istalgan manfiy bo’lmagan butun son bo’lganda a_nb_n≤c/_nb^/_n tengsizlikni qanoatlantiruvchi c songa aytiladi.
Misol. a=_{ } va b=_{ } sonlarining ko’paytmasini toping.
Yechilishi. 0,01 gacha yaqinlikda _{ }=1,41 va _{ }=1,73
1,41·1,73=2,4393.
3-ta’rif. a sonining ikkinchi, uchinchi, to’rtinchi va hokazo darajasi deb, har biri a teng bo’lgan ikkita, uchta, to’rtta va hokazo ko’paytuvchilardan tuzilgan ko’paytmaga aytiladi.
2-misol. _{ } soni kattami yoki _{ } mi?
Yechilishi.Masala _{ }=3,14159… va _{ }=3,16227… sonlarning mos xonalari raqamlarini (o’nli yaqinlashishlarini) taqqoslash orqali hal bo’ladi. Ularning butun qismlari va o’ndan birlar xonasi raqamlari bir xil, lekin 0,01 lar xonasi raqami _{ } da katta. Demak, _{ }<_{ }.
3-misol. _{ }+_{ } - iratsional son ekanligini isbotlang.
Isbot. _{ }+_{ } ratsional son deb faraz qilaylik , ya’ni _{ }+_{ } =r, r_{ }Q.
_{ }=r-_{  }5=r²-2_{ }r+2 _{ }3=r²-2_{ }r_{ }r²-3=2_{ }r_{  }=_{ }; lekin _{ }
Zidlik hosil bo’ldi. Faraz noto’g’ri. Demak, _{ }+_{ } irratsional son.
Tayyanch iboralar
Irratsional, haqiqiy, qisqarmas, yaqinlashish.
Nazorat savollar
1. Iratsional sonlar ta’rifi.
2. Haqiqiy sonlar ustida amallar bajarish qanday yaqinlashishlardan foydalaniladi.
Topshiriqlar
1. _{ }+_{ } yig’indi irratsional ekanligini isbot qiling.
2. a) 1,4978; b) _{ }; d) _{ } sonlarining 0,001 aniqlikdagi ortig’I va kami bilan olingan yaqinlashishlarini toping.
3. Sinf xonasining eni va bo’yini o’lchash natijasida a=(8,3_{ }0,02) m, b=(12,2_{ }0,03) ekani aniqlandi. Sinf xonasining yuzini toping. Yo’l qo’yilgan xatolarni hisoblang. (Javob. S=(101,25_{ }0,5) sm² ; _{ }0,49m²)
Foydalanilgan adabiyotlar:
1 A. Meliqulov. “Matematika” I-qism 50-53 bet ,
2. A. Abduhamidov “Algebra va matematik analiz asoslaridan” 46-49 betlar