Haqiqiy sonning moduli va uning xossalar

5. Tekis uzluksiz funksiya. Kantor teoremasi

y=f(x) funksiya X to`plamda uzluksiz va X bo`lsin. U holda uzluksizlik ta`rifiga ko`ra har bir >0 uchun shunday >0 son topilib, |x- |< tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x X lar uchun |f(x)-f( )|< tengsizlik o`rinli bo`ladi. Bu yerda son ga bog`liq. Ikkinchi tomondan son nuqta o`zgarishi bilan ham o`zgarishi mumkin. Demak, son ham ga, ham nuqtaga bog`liq.
Ba`zi bir funksiyalar mavjudki, topilayotgan son faqat >0 ga bog`liq bo`lib, nuqtaga bog`liq emas.
Ta`rif: Agar har bir >0 son uchun shunday >0 son topilib, |x`-x``|< tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x`,x`` X nuqtalar uchun |f(x`)-f(x``)|< tengsizlik o`rinli bo`lsa, f(x) funksiya X to`plamda tekis uzluksiz deyiladi.
Ta`rifdan ko`rinadiki X to`plamda tekis uzluksiz bo`lgan funksiya shu to`plamda uzluksiz bo`ladi, aksinchasi har doim to`g`ri bo`lavermaydi. Ya`ni shunday uzluksiz funksiyalar mavjudki, lekin tekis uzluksiz emas.
Misol. f(x)= funksiya X=(0:1] da uzluksiz, lekin tekis uzluksiz emas.
Haqiqatan, =1 songa mos kelgan >0 mavjud emas. Ya`ni, qanday >0 son olmaylik x`,x`` sonlar topilib, |x`-x``|< bo`lib,
|f(x`)-f(x``)| bo`ladi. nuqtalarni olaylik. |x`-x”|= = . n nomerni shunday tanlash mumkinki bo`ladi. Lekin |f(x`)-f(x``)|=|n-(n+1)|=1 bo`ladi.
Demak, f(x)= funksiya tekis uzluksiz emas.
Endi, uzluksiz funksiyalar qaysi vaqtda tekis uzluksiz bo`ladi degan savol tug`iladi, bu savolga ushbu teorema javob beradi.

Teorema. (Kantor teoremasi) Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda uzluksiz bo`lsa, u holda f(x) funksiya shu segmentda tekis uzluksiz bo`ladi.
Isbot. Teoremani teskaridan faraz qilish yo`li bilan isbotlaymiz. Ya`ni [a;b] da uzluksiz bo`lgan f(x) funksiya bu kesmada tekis uzluksiz bo`lmasin. Demak, biror >0 son mavjudki, >0 sonni har qancha kichik qilib olmaylik, [a;b] segmentda shunday x` va x`` nuqtalar topiladiki, |x`-x``|< bo`lsa ham |f(x`)-f(x``)| bo`ladi.
Nolga intiluvchi ,…, ketma-ketlikni olamiz. <sub>n</sub> ning har bir qiymatiga mos ikkita [a;b] topiladiki, ular uchun bo`lib, bo`ladi. [a;b], demak chegaralangan. Undan Bolsano-Veyershtrass teoremasiga binoan yaqinlashuvchi ( ) qismiy ketma-ketlik ajratib olish mumkin: . Geyne ta`rifiga binoan f( ) f( ). tengsizlikka asosan ekanligi kelib chiqadi. Bundan f( ) f( ). Bulardan ekanligi kelib chiqadi.
Ikkinchi tomondan tengsizliklardan ning 0 ga intilmasligi kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi. Teorema isbotlandi.
Ta`rif: {f(x)}- {f(x)} ayirma f(x) funksiyaning X to`plamdagi tebranishi deb ataladi va = {f(x)}- {f(x)} orqali belgilanadi.
Natija. Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda uzluksiz bo`lsa, u holda ixtiyoriy >0 son uchun shunday >0 son topilib, [a;b] segmentni uzunliklari dan kichik bo`laklarga bo`linganda funksiyaning har bir bo`lakdagi tebranishi dan kichik bo`ladi.