Характеристики ких-фильтров

Расчет КИХ фильтра с произвольной АЧХ и линейной ФЧХ методом частотной выборки
Пусть задана АЧХ КИХ фильтра  аналитически, или предварительно измеренная каким-либо способом. АЧХ  КИХ фильтра — периодическая, четная функция с периодом  рад/c, как это показано на рисунке 3.


Рисунок 3: Периодическая симметричная АЧХ КИХ фильтра

Важно вспомнить, что частота цифрового фильтра всегда нормирована к частоте дискретизации, поэтому все частотные характеристики фильтров задаются на интервале от 0 до  рад/c.
Если бы у нас был комплексный коэффициент передачи фильтра  (без модуля), то мы могли бы произвести расчет импульсной характеристики как разложение в ряд Фурье периодической функции:
Но у нас задана только АЧХ, т.е. модуль комплексного коэффициента передачи  , поэтому мы должны добавить ФЧХ  , тогда:

,

(4)

и можно использовать выражение (3).
Таким образом, мы должны к требуемой АЧХ задать линейную ФЧХ и рассчитать КИХ согласно (3). Для того чтобы правильно задать линейную ФЧХ мы должны потребовать, чтобы фильтр вносил постоянную групповую задержку  для любого из четырех типов фильтров. Тогда согласно (2)

(5)

При расчете неопределенного интеграла постоянная интегрирования приравнена к нулю.
Окончательно выражение для импульсной характеристики КИХ фильтра с линейной ФЧХ принимает вид:

(6)

Данное выражение позволяет произвести аналитический расчет импульсной характеристики КИХ фильтра с линейной ФЧХ, что очень важно. Однако, на практике АЧХ может не быть задана аналитически, а даже если и задана, то аналитическое интегрирование не всегда возможно. Поэтому нам бы хотелось производить численный расчет импульсной характеристики КИХ фильтра с произвольной АЧХ, чем мы и займемся дальше.