Характеристики ких-фильтров

Численный расчет КИХ фильтра на основе обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ)
Мы уже говорили о том, что требуется алгоритм численного расчета (6), ввиду сложностей с аналитическим вычислением интеграла (6). Для этой цели мы можем продискретизировать комплексный коэффициент передачи КИХ фильтра как это показано на рисунке 4 и рисунке 5 для четного и нечетного количества коэффициентов КИХ фильтра соответственно. К такому приему мы уже прибегали при переходе от интеграла Фурье к дискретному преобразованию.

Рисунок 4: Дискретизация периодической АЧХ и ФЧХ КИХ фильтра при четном N



Рисунок 5: Дискретизация периодической АЧХ и ФЧХ КИХ фильтра при нечетном N

Дискретизацию будем осуществлять на равноотстоящей сетке:

(7)

Тогда АЧХ и ФЧХ дискретизируются на данной сетке частот и комплексный коэффициент передачи представляется дискретными отсчетами:

(8)

где  – дельта-функция:

(9)

Подставив выражение (8) в (6) получим:

(10)

В выражении (10) операции интегрирования и суммирования поменяны местами и применено фильтрующее свойство дельта-функции.
Учтем (7) и окончательно можно записать:

(11)

Выражение (11) ничто иное, как обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) комплексного коэффициента передачи

(12)

Это позволяет производить численный расчет КИХ фильтра с произвольной АЧХ с применением алгоритмов быстрого преобразования Фурье, что существенно увеличивает эффективность данного метода.
Сделаем очень важное замечание. При расчете необходимо правильно дискретизировать ФЧХ комплексного коэффициента передачи, так как это показано на рисунках 3 и 5. Так для фильтра с четным количеством коэффициентов  ФЧХ дискретизируется согласно выражению (смотри рисунок 3):

(13)

В случае нечетного количества коэффициентов КИХ фильтра  , ФЧХ дискретизируется согласно выражению (смотри рисунок 5):

(14)

В случае четного  мы получим КИХ фильтр 2-го или 4-го типа, а при нечетном  – первого или третьего типа.
Такая дискретизация ФЧХ необходима, чтобы обеспечить свойства симметрии комплексного коэффициента передачи фильтра, который по сути – дискретное преобразование Фурье от импульсной характеристики КИХ фильтра. Поскольку импульсная характеристика должна быть чисто вещественной, то необходимо выдерживать симметрию АЧХ и ФЧХ, иначе при расчете импульсной характеристики при помощи ОДПФ появится мнимая часть.

Заключение
В данной работе я понил, что алгоритм расчета коэффициентов КИХ фильтра произвольной АЧХ и линейной ФЧХ на основе частотной выборки. Мы показали что численный расчет импульсной характеристики фильтра производится на основе обратного дискретного преобразования Фурье после дискретизации комплексного коэффициента передачи, при этом возможно использование эффективных алгоритмов быстрого преобразования Фурье. Приведен пример расчета КИХ фильтра и показано, который искажает АЧХ фильтра, снижая избирательный свойства.


Список использованных источников
http://www.dsplib.ru/content/filters/fir/fir.html