Harmonic Analysis with Prony Method Abstract

F. Vatansever, B. Çengelci 

134 

Harmonic Analysis with Prony Method 

 

Abstract—The  monitoring  and  control  of  harmonics  in  energy 

and  power systems is important. The traditional methods for  the 

examination  of  harmonics  are  based  on  Fourier  analysis.  In  this 

study,  the  harmonic  analysis  was  carried  out  in  the  Prony 

method, too. A graphical user interface program designed for this 

purpose  that  can  be  also  used  in  education  was  made  in  various 

simulations  and  Prony  method  has  been  proven  effective  of  this 

area with comparative results. 

 

Keywords—Prony, harmonic.  

I.

 

GİRİŞ 

Gelişen  teknolojiyle  orantılı  olarak;  enerji  sistemlerindeki 

yüklerin  sayısı  ve  türleri  artmaktadır.  Özellikle  doğrusal 

olmayan yüklerin sistemlere girmesiyle, şebeke işaretlerindeki 

harmoniklerde  artış  oluşturmaktadır.  Bu  durum  da  enerji  ve 

güç  kalitesini  olumsuz  yönde  etkilemektedir.  Dolayısıyla 

şebekelerdeki  harmoniklerin  sürekli  gözlemlenmesi  ve 

olumsuz 

etkilerini 

giderecek 

tedbirlerin 

alınması 

gerekmektedir. 

Herhangi bir işarete ait harmonik bileşenlerin elde edilmesi 

için  klasik  yöntemler,  Fourier  analizlerine  dayanmaktadır. 

İşaretlerin  Fourier  dönüşümleri  alınarak  frekans  bileşenleri 

elde 

edilebilmektedir[1-2]. 

Fourier 

dönüşümü, 

sabit 

pencereleme  fonksiyonları  kullandığından  dolayı  özellikle 

statik  işaretlerin  analizinde  çok  başarılıdır.  Harmonikler, 

uygun  filtrelerle  dalgacık  dönüşümleri  kullanılarak  da 

hesaplanabilmektedir[3-4]. 

Harmonik  dağılımların  elde 

edilmesine  yönelik  Prony  yöntemiyle  de  değişik  çalışmalar 

gerçekleştirilmiştir[5-6]. 

Bu  çalışmada  Prony  yöntemi  tanıtılarak,  harmonik  analizi 

alanında  uygulanmıştır.  MATLAB[7]  kullanılarak  tasarlanan 

grafiksel  arayüz  programıyla  seçilen/yüklenen  işaretin 

etkin/efektif/RMS  değeri,  harmonik  dağılımı  (genlik,  frekans, 

faz  açısı),  toplam  harmonik  distorsiyonu,  tepe  ve 

biçim/distorsiyon  faktörü  hesaplanabilmektedir.  Sonuçlar, 

kullanıcıya  hem  sayısal  hem  de  grafiksel  olarak 

sunulabilmektedir.  Tasarlanan  programla  değişik  benzetimler 

gerçekleştirilerek  elde  edilen  sonuçlar,  hızlı  Fourier 

dönüşümüyle  (FFT)  elde  edilen  sonuçlarla  karşılaştırılmış  ve 

Prony yönteminin bu alandaki etkinliği gözlemlenmiştir.  

II.

 

PRONY

 

YÖNTEMİ 

Prony yöntemi (analizi), 1795 yılında Gaspard Riche Baron 

de  Prony  tarafından  geliştirilmiştir[8].  Periyodik  işaretler, 

Fourier  serilerine  açılarak  farklı  genlik  ve  frekanstaki 

Sin

ve 

Cos

 trigonometrik fonksiyonlarının (sönümsüz karmaşık üstel 

fonksiyonlarının) toplamı şeklinde modellenmektedir. Böylece 

işaret  bileşenlerinin  genlik,  frekans  ve  fazları  elde 

edilmektedir.  Prony  yönteminde  ise  işaret,  sönümlü  karmaşık 

üstel 

fonksiyonların 

doğrusal 

toplamı 

olarak 

modellenmektedir.  Böylece  işaret  bileşenlerinin  genlik, 

frekans, faz ve sönüm katsayıları elde edilmektedir (Tablo 1). 

 

Tablo 1: Fourier serisiyle Prony yönteminin temel karşılaştırması 

 

Fourier serisi 

Prony analizi 

M

od

el

 

Sönümsüz 

karmaşık üstellerin toplamı 

Sönümlü 

karmaşık üstellerin toplamı 

So

nu

ç 

        İşaret bileşenlerinin; 



 

Genlikleri 



 

Frekansları 



 

Fazları 

         İşaret bileşenlerinin; 



 

Genlikleri 



 

Frekansları 



 

Fazları 



 

Sönüm katsayıları 

 

Prony analizi; herhangi bir 

)

(t

y

 fonksiyonunun (işaretinin),  

 













p

i

i

i

t

i

t

f

Cos

e

A

t

y

i

1

2

.

.

)

(

ˆ







                         (1) 

 

gibi 

üstel  sönümlü  sinüsoidal  bileşenlerin  doğrusal 

kombinasyonu olarak uygunlaştırılması işlemidir. (1) numaralı 

eşitlikte; 

i

A

: 

.

i

 bileşenin genliği, 

i



: 

.

i

 bileşenin sönüm katsayısı, 

i

f

: 

.

i

 bileşenin frekansı, 

i



: 

.

i

 bileşenin faz açısı, 

p

: sönümlü üstel bileşenlerin sayısını göstermektedir.  

Prony analizi üç adımda gerçekleşmektedir[5-6, 8-9]: 

i.

 

Birinci adım: 

N

 tane örneklenmiş değere sahip 

)

(t

y

 

fonksiyonuna  ait  doğrusal  tahmin  modelinin  (LPM) 

katsayıları hesaplanır. 

 

p

N

p

N

N

N

y

a

y

a

y

a

y















.

...

.

.

2

2

1

1

           (2) 

 

Prony Yöntemiyle Harmonik Analizi 

F. Vatansever

1

, B. Çengelci

2

 

 

1

Uludağ Üniversitesi, Bursa/Türkiye, [e-mail]  

2

Afyon Kocatepe Üniversitesi, Afyon/Türkiye, [e-mail]  

Prony Yöntemiyle Harmonik Analizi 

135 



a

p

C

p

N

N

N

p

p

p

p

B

N

p

p

a

a

a

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y























































































































































2

1

1

3

2

1

1

0

2

1

1

1

       (3) 

 

B

C

a

.

1





                                  (4) 

 

ii.

 

İkinci adım: LPM katsayılarından oluşan karakteristik 

polinomun kökleri hesaplanır. 

 

0

.

...

.

1

1

1















p

p

p

p

a

a

a







              (5) 

 

iii.

 

Üçüncü  adım:  Doğrusal  denklem  sistemi  çözülerek 

genlik, frekans ve faz değerleri elde edilir. 

 



D

p

E

N

p

N

N

p

F

N

d

d

d

y

y

y













































































































































2

1

1

1

2

1

1

2

1

1

1

0

1

1

1













           (6) 

 

F

E

D

.

1





                                 (7) 

 

i

j

i

i

e

A

D



2



                                (8) 

 

 

 















i

i

i

D

D

ArcTan

Re

Im



                        (9) 

 

 

 

i

i

i

Cos

D

A



Re

.

2



                            (10) 

 





T

f

j

i

i

i

e







2





                           (11) 

 

 





i

i

T





ln

Re

1



                          (12) 

 

 





i

i

T





ln

Im

1



                           (13) 

 

 





i

i

T

f





ln

Im

.

2

1



                       (14) 

 

11-14 eşitliklerindeki 

T

, örnekleme periyodudur. 

III.

 

  BENZETİMLER 

Bu  çalışmada  MATLAB[7]  kullanılarak  tasarlanan 

etkileşimli  grafiksel  arayüz  programında;  örnek  benzetim 

işaretleri  seçilerek  veya  işaret  değerleri  çevre  birimlerden 

programa 

yüklenerek 

harmonik 

analizleri 

gerçekleştirilebilmektedir.  Analiz  sonucunda  harmoniklerin 

frekansları,  genlikleri  ve  faz  açıları  listelenmekte,  frekans 

bileşenleri  hem  sayısal  hem  de  grafiksel  olarak 

gösterilmektedir. Bunun yanında program, aşağıda tanımlanan 

parametreleri de hesaplamaktadır[10-12]: 



 

Etkin  (RMS)  değer:  IEEE  Standart  100-88  göre  etkin 

değer (15) eşitliğiyle tanımlanmaktadır. 

 











N

k

k

T

RMS

V

dt

t

v

T

V

1

2

2

)

(

1

               (15) 

 



 

Toplam  harmonik  distorsiyon  (THD):  İşaretteki 

bozulmanın  bir  ölçüsü  olan  THD;  temel  harmonik 

dışındaki harmoniklerden hesaplanan RMS değerinin, 

temel harmoniğin RMS değerine oranıdır. 

 

RMS

V

V

THD

N

k

k

1

2

2







                          (16)  

 



 

Biçim  faktörü  (BF):  İşaretin  RMS  değerinin,  temel 

harmoniğin RMS değerine oranıdır. 

 

RMS

V

V

BF

RMS

1



                               (17) 

 



 

Tepe  faktörü  (TF):  İşaretteki  maksimum  ani  değerin 

(tepe değerin), RMS değere oranıdır. 

 

RMS

m

V

V

TF



                               (18) 

 

Tasarlanan  program  ile  elde  edilen  bu  sayısal  ve  grafiksel 

sonuçlar, 

istenildiği 

takdirde 

“Dosya” 

menüsündeki 

seçeneklerden  kaydedilebilmekte  veya  yazdırılabilmektedir. 

Ayrıca  Prony  analizinin  varsayılan  değerleri  de  “Ayarlar” 

menüsünden  değiştirilebilmektedir.  Tasarlanan  programın 

sunduğu  görsel  ve  etkileşimli  unsurlar  sayesinde,  işaretlerin 

harmonik analizleri kolaylıkla gerçekleştirilebilmektedir. 

İlk  benzetimin  karşılaştırmalı  sonuçları  Tablo  2  ve  ekran 

görüntüsü  de  Şekil  1’de  verilmektedir.  Benzer  şekilde  ikinci 

benzetimin  karşılaştırmalı  sonuçları  ve  ekran  görüntüsü 

sırasıyla Tablo 3 ve Şekil 2’de yer almaktadır. Tablo 2-3’den 

de görüldüğü gibi Prony analiziyle elde edilen sonuçlar, gerçek 

sonuçlarla uyum içindedir.  

 

 

Tablo 2: Birinci benzetim için karşılaştırmalı sonuçlar. 

F. Vatansever, B. Çengelci 

136 





 

 





 



















36

5

.

0

11

2

9

5

45

5

10

4

20

3

50

30

220

2

)

(





















t

Cos

t

Cos

t

Cos

t

Cos

t

Cos

t

Cos

t

Cos

t

v















 

Harmonik 

numarası 

Gerçek değerler 

FFT ile hesaplanan değerler 

Prony analizi ile hesaplanan değerler 

Genlik 

Faz (derece) 

Genlik 

Faz (derece) 

Genlik 

Faz (derece) 

1 

220.000 

30.000 

220.0000 

30.000 

220.0000 

30.000 

3 

50.000 

0.000 

50.0000 

0.000 

50.0000 

0.000 

4 

20.000 

0.000 

20.0000 

0.000 

20.0000 

0.000 

5 

10.000 

-45.000 

10.000 

-45.000 

10.000 

-45.000 

9 

5.000 

0.000 

5.000 

0.000 

5.000 

0.000 

11 

2.000 

0.000 

2.000 

0.000 

2.000 

0.000 

19 

0,500 

-36.000 

0.500 

-36.000 

0.500 

-36.000 

 

 

Şekil 1: Birinci benzetime ait ekran görüntüsü 

 

Tablo 3: İkinci benzetim için karşılaştırmalı sonuçlar. 

 





 

















t

Cos

t

Cos

t

Cos

t

Cos

t

Cos

t

Cos

t

v













33

321

.

0

30

32

5

.

0

31

2

.

0

5

3

.

0

18

3

5

.

0

0

.

1

2

)

(





















 

Harmonik 

numarası 

Gerçek değerler 

FFT ile hesaplanan değerler 

Prony analizi ile hesaplanan değerler 

Genlik 

Faz (derece) 

Genlik 

Faz (derece) 

Genlik 

Faz (derece) 

1 

1.000 

0.000 

1.000 

0.000 

1.000 

0.000 

3 

0.500 

-18.000 

0.500 

-18.000 

0.500 

-18.000 

5 

0.300 

0.000 

0.300 

0.000 

0.300 

0.000 

31 

0.200 

0.000 

0.200 

0.000 

0.200 

0.000 

32 

0.500 

-30.000 

0.500 

-30.000 

0.500 

-30.000 

33 

0,321 

0.000 

0,321 

0.000 

0,321 

0.000 

 

 

 

Prony Yöntemiyle Harmonik Analizi 

137 

 

Şekil 2: İkinci benzetime ait ekran görüntüsü 

 

IV.

 

  SONUÇLAR 

Gerçekleştirilen  bu  çalışmada,  harmonik  analizine  yönelik  ve 

Prony  yöntemiyle  hesaplamaları  gerçekleştiren  bir  grafiksel  arayüz 

programı tasarlanmıştır. Eğitim amaçlı da kullanılabilecek etkileşimli 

arayüz  programıyla  işaretlere  ait  harmonik  dağılımlar  (frekans, 

genlik,  faz  açıcı)  ile  parametreleri  (etkin  değer,  toplam  harmonik 

distorsiyon,  biçim  faktörü,  tepe  faktörü)  yüksek  doğrulukta  ve 

kolaylıkla  hesaplanabilmektedir.  Gerçekleştirilen  karşılaştırmalı 

benzetim  sonuçlarından;  Prony  yönteminin,  işaretlerin  harmonik 

bileşenlerinin hesaplanmasındaki etkinliği görülmektedir.   

KAYNAKLAR 

[1]

 

A.V. Openheim, A.S. Willsky, Signals&Systems, 2nd ed., Prentice-Hall, 

Inc. 

[2]

 

 H. P. HSU, Sinyaller ve Sistemler, Nobel Yayın Dağıtım:Ankara, 2001. 

[3]

 

V.L.  Pham,  K.P.  Wong,  “Wavelet-based  transform  algorithm  for 

harmonic  analysis  of  power  system  waveforms”,  IEE  Proc.  Gener. 

Transm. Distrib., 146 (3), 1999, pp. 249-254.  

[4]

 

E.Y. Hamid, R. Mardiana, Z.I. Kawasaki, “Method for RMS and power 

measurements  based  on  the  wavelet  packet  transform”,  IEE  Proc.  Sci. 

Meas. Technol., vol. 149, 2002, pp. 60-66. 

[5]

 

 L.  Qi,  L.  Qian,  S.  Woodruff,  D.  Cartes,  “Prony  Analysis  for  Power 

System  Transient  Harmonics”,  EURASIP  Journal  on  Advances  in 

Signal Processing, vol. 2007, 2007 

[6]

 

T.  Lobos,  J.  Rezmer,  P.  Schegner,  “Parameter  Estimation  of  Distorted 

Signals  Using  Prony  Method”,  2003  IEEE  Bologna  Power  Tech 

Conference, 23-26 June 2003, Bologna, Italy 

[7]

 

MATLAB, The Mathworks Inc. 

[8]

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Prony%27s_method  

[9]

 

Z. Salcic, Z. Li, U.D. Annakkage, N. Pahalawaththa, “A comparison of 

frequency  measurement  methods  for  underfrequency  load  shedding”, 

Electric Power System Research, vol. 45, 1998, pp. 209-219. 

[10]

 

L.M.  Tolbert,  H.D.  Hollis,  P.S.  Hale,  “Survey  of  Harmonics 

Measurements  in  Electrical  Distribution  Systems”,  IEEE  IAS  Annual 

Meeting, San Diego, CA, 6-10 October 1996, pp. 2333-2339. 

[11]

 

C. Sankaran, Power Quality, CRC Press LLC, 2002. 

[12]

 

S.M.  Halpin,  Power  Quality,  The  Electric  Power  Engineering 

Handbook, Ed. L.L. Grigsby, CRC Press LLC, 2001.