Harmonic Analysis with Prony Method Abstract
Download 120.08 Kb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- Fourier serisi Prony analizi
- Harmonik numarası Gerçek değerler FFT ile hesaplanan değerler Prony analizi ile hesaplanan değerler
F. Vatansever, B. Çengelci 134
Harmonic Analysis with Prony Method
and power systems is important. The traditional methods for the examination of harmonics are based on Fourier analysis. In this study, the harmonic analysis was carried out in the Prony method, too. A graphical user interface program designed for this purpose that can be also used in education was made in various simulations and Prony method has been proven effective of this area with comparative results.
I.
Gelişen teknolojiyle orantılı olarak; enerji sistemlerindeki yüklerin sayısı ve türleri artmaktadır. Özellikle doğrusal olmayan yüklerin sistemlere girmesiyle, şebeke işaretlerindeki harmoniklerde artış oluşturmaktadır. Bu durum da enerji ve güç kalitesini olumsuz yönde etkilemektedir. Dolayısıyla şebekelerdeki harmoniklerin sürekli gözlemlenmesi ve olumsuz etkilerini giderecek tedbirlerin alınması gerekmektedir. Herhangi bir işarete ait harmonik bileşenlerin elde edilmesi için klasik yöntemler, Fourier analizlerine dayanmaktadır. İşaretlerin Fourier dönüşümleri alınarak frekans bileşenleri elde
edilebilmektedir[1-2]. Fourier
dönüşümü, sabit
pencereleme fonksiyonları kullandığından dolayı özellikle statik işaretlerin analizinde çok başarılıdır. Harmonikler, uygun filtrelerle dalgacık dönüşümleri kullanılarak da hesaplanabilmektedir[3-4]. Harmonik dağılımların elde edilmesine yönelik Prony yöntemiyle de değişik çalışmalar gerçekleştirilmiştir[5-6]. Bu çalışmada Prony yöntemi tanıtılarak, harmonik analizi alanında uygulanmıştır. MATLAB[7] kullanılarak tasarlanan grafiksel arayüz programıyla seçilen/yüklenen işaretin etkin/efektif/RMS değeri, harmonik dağılımı (genlik, frekans, faz açısı), toplam harmonik distorsiyonu, tepe ve biçim/distorsiyon faktörü hesaplanabilmektedir. Sonuçlar, kullanıcıya hem sayısal hem de grafiksel olarak sunulabilmektedir. Tasarlanan programla değişik benzetimler gerçekleştirilerek elde edilen sonuçlar, hızlı Fourier dönüşümüyle (FFT) elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmış ve Prony yönteminin bu alandaki etkinliği gözlemlenmiştir. II.
YÖNTEMİ
Prony yöntemi (analizi), 1795 yılında Gaspard Riche Baron de Prony tarafından geliştirilmiştir[8]. Periyodik işaretler, Fourier serilerine açılarak farklı genlik ve frekanstaki
ve
Cos trigonometrik fonksiyonlarının (sönümsüz karmaşık üstel fonksiyonlarının) toplamı şeklinde modellenmektedir. Böylece işaret bileşenlerinin genlik, frekans ve fazları elde edilmektedir. Prony yönteminde ise işaret, sönümlü karmaşık üstel
fonksiyonların doğrusal toplamı olarak
modellenmektedir. Böylece işaret bileşenlerinin genlik, frekans, faz ve sönüm katsayıları elde edilmektedir (Tablo 1).
Tablo 1: Fourier serisiyle Prony yönteminin temel karşılaştırması Fourier serisi Prony analizi M od el Sönümsüz karmaşık üstellerin toplamı Sönümlü
karmaşık üstellerin toplamı So nu ç İşaret bileşenlerinin;
Frekansları
Fazları İşaret bileşenlerinin;
Genlikleri
Frekansları
Fazları
Sönüm katsayıları
Prony analizi; herhangi bir ) (t y fonksiyonunun (işaretinin),
p i i i t i t f Cos e A t y i 1 2 . . ) ( ˆ (1) gibi
üstel sönümlü sinüsoidal bileşenlerin doğrusal kombinasyonu olarak uygunlaştırılması işlemidir. (1) numaralı eşitlikte;
: . i bileşenin genliği, i : . i bileşenin sönüm katsayısı, i f : . i bileşenin frekansı, i : . i bileşenin faz açısı, p : sönümlü üstel bileşenlerin sayısını göstermektedir. Prony analizi üç adımda gerçekleşmektedir[5-6, 8-9]: i.
Birinci adım: N tane örneklenmiş değere sahip ) (t y
fonksiyonuna ait doğrusal tahmin modelinin (LPM) katsayıları hesaplanır.
N p N N N y a y a y a y . ... . . 2 2 1 1 (2)
Prony Yöntemiyle Harmonik Analizi F. Vatansever 1 , B. Çengelci 2
1 Uludağ Üniversitesi, Bursa/Türkiye, fahriv@uludag.edu.tr 2 Afyon Kocatepe Üniversitesi, Afyon/Türkiye, bcengelci@aku.edu.tr Prony Yöntemiyle Harmonik Analizi 135
a p C p N N N p p p p B N p p a a a y y y y y y y y y y y y 2 1 1 3 2 1 1 0 2 1 1 1 (3)
. 1 (4) ii.
İkinci adım: LPM katsayılarından oluşan karakteristik polinomun kökleri hesaplanır.
0
... . 1 1 1 p p p p a a a (5)
iii.
Üçüncü adım: Doğrusal denklem sistemi çözülerek genlik, frekans ve faz değerleri elde edilir.
p E N p N N p F N d d d y y y 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 0 1 1 1 (6) F E D . 1 (7) i j i i e A D 2 (8)
i i D D ArcTan Re Im (9)
i i i Cos D A Re . 2 (10)
T f j i i i e 2 (11)
i T ln Re 1 (12)
i T ln Im 1 (13)
i T f ln Im . 2 1 (14)
11-14 eşitliklerindeki T , örnekleme periyodudur. III.
Bu çalışmada MATLAB[7] kullanılarak tasarlanan etkileşimli grafiksel arayüz programında; örnek benzetim işaretleri seçilerek veya işaret değerleri çevre birimlerden programa yüklenerek harmonik analizleri gerçekleştirilebilmektedir. Analiz sonucunda harmoniklerin frekansları, genlikleri ve faz açıları listelenmekte, frekans bileşenleri hem sayısal hem de grafiksel olarak gösterilmektedir. Bunun yanında program, aşağıda tanımlanan parametreleri de hesaplamaktadır[10-12]:
değer (15) eşitliğiyle tanımlanmaktadır.
N k k T RMS V dt t v T V 1 2 2 ) ( 1 (15)
Toplam harmonik distorsiyon (THD): İşaretteki bozulmanın bir ölçüsü olan THD; temel harmonik dışındaki harmoniklerden hesaplanan RMS değerinin, temel harmoniğin RMS değerine oranıdır.
1 2 2 (16)
Biçim faktörü (BF): İşaretin RMS değerinin, temel harmoniğin RMS değerine oranıdır.
1 (17)
Tepe faktörü (TF): İşaretteki maksimum ani değerin (tepe değerin), RMS değere oranıdır.
(18) Tasarlanan program ile elde edilen bu sayısal ve grafiksel sonuçlar, istenildiği takdirde “Dosya”
menüsündeki seçeneklerden kaydedilebilmekte veya yazdırılabilmektedir. Ayrıca Prony analizinin varsayılan değerleri de “Ayarlar” menüsünden değiştirilebilmektedir. Tasarlanan programın sunduğu görsel ve etkileşimli unsurlar sayesinde, işaretlerin harmonik analizleri kolaylıkla gerçekleştirilebilmektedir. İlk benzetimin karşılaştırmalı sonuçları Tablo 2 ve ekran görüntüsü de Şekil 1’de verilmektedir. Benzer şekilde ikinci benzetimin karşılaştırmalı sonuçları ve ekran görüntüsü sırasıyla Tablo 3 ve Şekil 2’de yer almaktadır. Tablo 2-3’den de görüldüğü gibi Prony analiziyle elde edilen sonuçlar, gerçek sonuçlarla uyum içindedir.
F. Vatansever, B. Çengelci 136
36 5 . 0 11 2 9 5 45 5 10 4 20 3 50 30 220 2 ) ( t Cos t Cos t Cos t Cos t Cos t Cos t Cos t v
Harmonik numarası Gerçek değerler FFT ile hesaplanan değerler Prony analizi ile hesaplanan değerler Genlik Faz (derece) Genlik Faz (derece) Genlik Faz (derece) 1 220.000 30.000 220.0000 30.000 220.0000 30.000 3 50.000 0.000 50.0000
0.000 50.0000
0.000 4 20.000 0.000 20.0000
0.000 20.0000
0.000 5 10.000 -45.000 10.000
-45.000 10.000
-45.000 9 5.000 0.000 5.000
0.000 5.000
0.000 11
2.000 0.000
2.000 0.000
2.000 0.000
19 0,500
-36.000 0.500
-36.000 0.500
-36.000
Şekil 1: Birinci benzetime ait ekran görüntüsü
Tablo 3: İkinci benzetim için karşılaştırmalı sonuçlar. t Cos t Cos t Cos t Cos t Cos t Cos t v 33 321 . 0 30 32 5 . 0 31 2 . 0 5 3 . 0 18 3 5 . 0 0 . 1 2 ) ( Harmonik numarası Gerçek değerler FFT ile hesaplanan değerler Prony analizi ile hesaplanan değerler Genlik Faz (derece) Genlik Faz (derece) Genlik Faz (derece) 1 1.000 0.000 1.000
0.000 1.000
0.000 3 0.500 -18.000 0.500
-18.000 0.500
-18.000 5 0.300 0.000 0.300
0.000 0.300
0.000 31
0.200 0.000
0.200 0.000
0.200 0.000
32 0.500
-30.000 0.500
-30.000 0.500
-30.000 33
0,321 0.000
0,321 0.000
0,321 0.000
Prony Yöntemiyle Harmonik Analizi 137
Şekil 2: İkinci benzetime ait ekran görüntüsü
IV.
SONUÇLAR Gerçekleştirilen bu çalışmada, harmonik analizine yönelik ve Prony yöntemiyle hesaplamaları gerçekleştiren bir grafiksel arayüz programı tasarlanmıştır. Eğitim amaçlı da kullanılabilecek etkileşimli arayüz programıyla işaretlere ait harmonik dağılımlar (frekans, genlik, faz açıcı) ile parametreleri (etkin değer, toplam harmonik distorsiyon, biçim faktörü, tepe faktörü) yüksek doğrulukta ve kolaylıkla hesaplanabilmektedir. Gerçekleştirilen karşılaştırmalı benzetim sonuçlarından; Prony yönteminin, işaretlerin harmonik bileşenlerinin hesaplanmasındaki etkinliği görülmektedir. KAYNAKLAR [1]
A.V. Openheim, A.S. Willsky, Signals&Systems, 2nd ed., Prentice-Hall, Inc. [2]
H. P. HSU, Sinyaller ve Sistemler, Nobel Yayın Dağıtım:Ankara, 2001. [3]
harmonic analysis of power system waveforms”, IEE Proc. Gener. Transm. Distrib., 146 (3), 1999, pp. 249-254. [4]
E.Y. Hamid, R. Mardiana, Z.I. Kawasaki, “Method for RMS and power measurements based on the wavelet packet transform”, IEE Proc. Sci.
[5]
L. Qi, L. Qian, S. Woodruff, D. Cartes, “Prony Analysis for Power System Transient Harmonics”, EURASIP Journal on Advances in
[6]
T. Lobos, J. Rezmer, P. Schegner, “Parameter Estimation of Distorted Signals Using Prony Method”, 2003 IEEE Bologna Power Tech
[7]
MATLAB, The Mathworks Inc. [8]
[9]
Z. Salcic, Z. Li, U.D. Annakkage, N. Pahalawaththa, “A comparison of frequency measurement methods for underfrequency load shedding”, Electric Power System Research, vol. 45, 1998, pp. 209-219. [10]
Measurements in Electrical Distribution Systems”, IEEE IAS Annual Meeting, San Diego, CA, 6-10 October 1996, pp. 2333-2339. [11]
[12]
Handbook, Ed. L.L. Grigsby, CRC Press LLC, 2001. Download 120.08 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling