H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

 

10.2.2. Xətti diferensial tənliklər sisteminin analitik həlli 

 

 

Arqumenti dinamik sistemlərin yazılışında olduğu kimi t (zaman) deyil x 

qəbul etcək  xətti tənliyi aşağıdakı şəkildə yazmaq olar: 

.

)

(

),

(

0

0

y

x

y

x

B

Ay

dx

dy









 

Burada  y=(y

1

,  y

2

,...,y

n

)

T

; 

;

)

,...,

,

(

2

1

T

m











  A,B-n×n  və  n×m  ölçülü 

matrislərdir. 

Xətti diferensial tənliklər sisteminin analitik həlli mövcuddur və Koşi 

düsturu ilə təyin olunur: 

.

)

(

)

(

0

0

)

(

0

)

(







d

Bu

e

y

e

x

y

x

x

x

A

x

x

A











 

Burada  e

Ax

-  matris  eksponentası  olub,  hesablanma  qaydası 

§  6.3-19 

bölməsində verilmişdir; x=x-x

0

. 

Bircins tənlik üçün xarici qüvvə u=0 olduğundan fəll sadələşir: 

.

)

(

0

)

(

0

y

e

x

y

x

x

A





 

Qeyd  edək  ki,  xətti  diferensial  tənliklərdən  fərqli  olaraq  ümumi  halda 

qeyri-xətti  diferensial  tınliklərin  analitik  həlli  mövcud  deyil.  Bu  halda  adətən 

 

291 

 

ədədi  (təqribi)  hsablama  üsullarından  istifadə  olunur.Lakin  bu  zaman  həllin 

analitik  (ifadə  şəklində)  düsturunu  almaq  mümkün  olmur.Funksiyanın 

(məchulun-  y(x))  arqumentin  x  diskret  qiymətlərinə  uyğun  gələn  qiymətləri 

hesablanir. Bu nöqtələrə əsasən həllin qrafikini də qurmaq mümkündür. 

Misal 10.3. Obyektin  тянлийи 

   

2

1

y

y





, 

u







2

2

y

2

y



, x

0

=1, y(1)=0, y(1)=2; u=0. 

Бурада 













2

0

1

0

  

     

А

, 











1

0

B

 

Инди   

x

A

e

  тапмаг  цчцн 

]

)

[(

1

1









A

sI

L

e

Ax

 

§  6.3-19  дцстурундан 

истифадя едяк: 

   









































2

s

0

1

s

2

0

1

0

s

0

0

s

s

   

    

 

     

  

  

A

I

R

. 

   















т

1

1

)

(

det

1

)

(s

R

R

A

I

R

 

  

































 





2

s

1

0

)

2

s(s

1

s

1

s

0

1

2

s

)

2

s(s

1

        

     

       

   

 .

 

R



 матриси  R  матрисинин ъябри тамамлайаъагдыр. 

Лаплас чевирмяси ъядвяиндян истифадя едяряк, тапырыг: 



























































)

1

(

2

)

1

(

2

2

2

1

1

0

)

1

(

5

.

0

1

       

0

1

5

0

    

1

]

[

x

x

A

e

e

e

)

e

(

.

L

e

x

x

x

R

. 

Həll  























































)

1

(

2

)

1

(

2

2

1

2

1

2

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

(

)

(

x

x

A

e

e

y

y

e

x

y

x

y

x

. 

Şəkil 10.7-də y(x) və y(x) həllərinin qrafiki göstərilmişdir. 

 

 

292 

 

 

 

                                        Şəkil 10.7. Həllərin qrafiki

 

 

10.3 . Matlab mühitində adi diferensial tənliklərin və        

tənliklər sisteminin həlli

 

 

 

MatLAB  системи  нятиъяляри  ъядвял  вя  график  шякилдя  тясвир  етмякля 

диференсиал тянликляри вя диференсиал тянликляр системини ədədi щялл етмяйя имкан 

верир. Bundan başqa ahalitik (simvol) həll texnologiyaları da mövcuddur ki, bu 

halda həllin ifadəsi (düsturu) alınır. 

1. 

Simvolik  həll.  Bu  halda  diferensial  tənliyin  həllinin  analitik  ifadəsi 

alınır.  Bu  məqsədlə  MATLABda  dsolve  funksiyasından  istifadə  olunur. 

Analitik həlli olmayan tənliklərin həllində təqribilik ola bilər. Xətti  diferensial 

tənliklərin dəqiq analitik həlli mövcud olduğundan bu tip tənliklərin simvolik 

həllində problem yaranmır. Inteqrallama sabitlərindən asılı olan ümumi həllin 

və verilmiş sərhəd şərtlərini ödəyən xüsusi həllərin alınması mümkündür. 

Misallara müraciət edək. İşarələmələr:  

y

Dy





, 

y

y

2

D







,



,

)

k

(

y

Dky



. 

Qeyd edək ki, baxılan tənliklərdə arqument kimi t (zaman) götürülmüşdür. 

Sırf riyazi məsələlərdə isə adətən x qəbul olunur.Onda 

.

/

/

dx

dy

dt

dy



Həll 

texnologiyası isə dəyişmir. 

1. 

1

y

y

2







  tənliyinin  ümumi  həllini  tapın.  Ümumi  həldə  başlanğıc 

şərtlər verilmir.  

 

293 

 

     

 

2. 

2

y

5

y









 tənliyinin ümumi həllini tapın. 

     

 

3. 

1

y

5

y









  tənliyinin 

0

)

0

(

y



, 

0

)

0

(

y





  başlanğıc  şərtlərində  xüsusi 

həllini tapın. 

     

 

4. 

)

t

2

cos(

y

y









  xətti  tənliyinin 

1

)

0

(

y



, 

0

)

0

(

y





  başlanğıc  şərtlərində 

xüsusi həllini tapın. 

        

 

Burada  simplify  funksiyası  simvol  tipli  ifadənin  sadələşdirilməsi  demək-

dir. 

5. 

)

t

(

1

y

2

y

3

y













, 

1

)

0

(

y





, 

2

)

0

(

y





  halında xətti diferensial tənliyin 

həllini tapın. 

          

 

6. 

0

y

2

y

t

2

y

)

t

1

(

2















  qeyri-stasionar  xətti  diferensial  tənliyin  ümumi 

həllini tapın. 

 

294 

 

      

 

7.  

1

y

4

y

3

y

2

1

1









 , 

 

2

1

2

y

3

y

4

y









 , 

xətti diferensial tənliklər sisteminin ümumi həllini tapın. 

 

     

 

Həllin  qrafikini  qurmaq  üçün 

)

t

,

t

ezplot(y,

f

0

  funksiyasından  istifadə 

etmək  olar.  Burada 

f

0

t

,

t

 



 zamanın  başlanğıc  və  son  anlarıdır.  Məsələn,  

0

t

0



, 

20

t

f



.  Həll  y   və  onun  y   törəməsinin  qrafiklərini  bir  yerdə  almaq 

üçün 

on

hold

  funksiyasından  istifadə  olunur.  Bu  məqsədlə  əvvəlcə 

)

(

diff



 

funksiyasının köməyi ilə həllin törəməsini almaq lazımdır: 

)

y

(

diff

dy



.  

Müvafiq  misal  aşağıda  göstərilmişdir.  Tənlik: 

1

y

5

y









, 

0

)

0

(

y



,  

0

)

0

(

y





. 

 

y 

 

 

295 

 

2. 

Ədədi  həll.  Bu  üsullar  ilkin  analoq  (fasiləsiz)  diferensial  tənliyin 

zamana  görə  diskretləşdirilməsinə  əsaslandığından  həllin  qiymətləri 

)

t

k

(

y



, 

zamanın  yalnız  diskret 

t

k

t





, 



,

2

,

1

,

0

k



  nöqtələrində  hesablanır.  Bu 

qiymətlər cədvəl və qrafiki təqdimatda verilə bilər. MATLABda adi diferensial 

tənliklər sistemini həll etmək üçün 

23

ode

, 

45

ode

, 

113

ode

, 

23

ode

,

s

15

ode

,

s

23

ode

,

t

23

ode

  və 

tb

23

ode

  funksiyalarından  istifadə  olunur.

 

Бу 

функсийаларын  адларынын  щярфи  щиссяси 



  Ordinary  Differential  Equation  (Ади 

диференсиал  тянлик)  ифадясинин  ихтисарыны,  рягямляр  ися  истифадя  олунан  Рунге-

Кутт  усулларынын  версийаларынын  тяртиблярини  эюстярир. 

)

(

ode45

  функсийасы  даща 

дягиг  щялл  верир,  лакин  щялл  цчцн  нисбятян  чох  вахт  тяляб  олунур. 

)

(



ode

 

funksiyaları  3 – 6    tərtibli  Runqe-Kut  üsulunu  reallaşdırır.  Addımın  seçilməsi 

avtomatik yerinə yetirilir.  

Bu funksiyalar aşkar şəkildə verilmiş 

)

t

,

x

,

,

x

(

f

x

n

1

i

i







,

,

,

1 n

i



 

diferensial  tənliklər  sistemini  həll  edir.  Bu  səbəbdən  ilkin  diferensial  tənliyin 

tərtibi n>1 olarsa onu tənliklər sisteminə (Koşi forması) gətirmək lazımdır. 

     Sintaksis

: [t,x]=ode(.)(’fun’,t0,tf,x0). 



 

fun- dif. tənliyin f

i

(.) sağ tərəflələrindən ibarət olan M-fayl; 



 

t0 



 arqumentin başlanğıc qiyməti; 



 

tf  -  arqumentin  son qiyməti;  



 

x0



 başlanğıc şərtlər vektorudur. 

Qeyd edək ki, arqumenti x, funksiyanı isə y ilə işarə etmək olar. 

Həll texnologiyası aşağıdakı bəndlərdən ibarətdir: 

1. M-faylda hər hansı bir ad altında, məsələn, fun və ya sisdu, diferensial 

tənliklər sisteminin sag tərəfini yadda saxlamaq lazımdır. Bu ona görə edilir ki, 

hər  iterasiyada  tənliklər  sisteminə  müraciət  oluna  bilsin.  Bu  məqsədlə  alətlər 

panelində  File/New/M-file  düyməsinə  klik  etmək  lazımdır.Açılan  M-fayl 

pıncərəsinə yazmalı: 

2. 

function F=sisdu(t,x) 

))];

(

),...,

1

(

(

));...

(

),...,

1

(

(

[

1

n

x

x

f

n

x

x

f

F

n



 

3.  Tənliklər  sisteminin  f

i

(.)sağ  tərəflərini  daxil  etdikdən  sonra  File/Save 

düyməsinə klik edib F funksiyasını sisdu faylında yadda saxlamalı; 

4.  Növbəti  mərhələdə  MATLABın  əmrlər  pəncərəsində  t0,  tf,  x0  və 

)

(



ode

 funksiyası daxil edilir: 

>>t0=t

0

; tf=t

f

; x0=[x

10

 ,x

20

 ,…,x

n0

]; 

>>[t,x]=ode(



)(



sisdu



,t0,tf,x0); 

>>z=[x,y] % Çap etmək 

5. Sonra 





Enter

 klavişini klik etmək lazımdır. 

 

296 

 

6. Həllin qrafikini əldə etmək üçün 

plot(t,x) bütün x

i

(t)-lər bir pəncərədə,

  

ayrı-ayrılıqda  isə  plot(t,x(:,1)),  plot(t,x(:,2)),...,plot(t,x(:,n))  funksiylarından 

istifadə etmək olar.  

Misal 10.4. 

)

(

ode23

 функсийасындан истифадя етмякля 

 

,

xy

y

dx

dy







   x0=0, xf=1. 

1

)

0

(

y



 

Коши  мясялясини  щялл  етмяли.  Алынмыш    щяллин  графикини  гурмалы.  Bu  halda 

arqument 

.

x

t



 

Верилмиш тянлийин саь тяряфини sisdu адлы M-файл шяклиндя формалашдыраг: 

function F = sisdu(x,y) 

F = x*y; 

Сонра параметрлярин ядяди гиймятлярини веририк. 

>> x0=0; xf=1; y0=1; 

Артыг ясас ямр йериня йетириля биляр: 

>> [x,y]=ode23('sisdu',[x0 xf],y0); 

>>    z=[x,y]     йазыб 





Enter

 клавишини басırıq. 

 

Şəkil 10.5-də M-fayl və həllin Matlab proqramı göstərilmişdir. 

 

 

 

 

297 

 

 

 

 

 

Şəkil 10.5.

 

Həllin qrafiki

 

 

Мисал 10.5.  

)

(

ode45

 функсийасындан истифадя етмякля qeyri-xətti 

diferensial  

 

,

0

sin

8

.

0

3







y

y

y







  x0=2, xf=20, y(2)=1, y'(2)=0  

tənliyi üçün Коши мясялясини щялл етмяли. Алынмыш  щяллин графикини гурмалы. 

Bu halda n>1 olduğundan  bu tənliyi tənliklər sisteminə gətirmək lazımdır. 

 

298 

 

y

y

1



, 

y

y

2





 ишаря еtsək верилмиш тянлийи ики тянликдян ибарят олан систем 

шяклиндя йазmаг olar: 

 

,

8

.

0

,

3

2

1

2

2

1

y

y

y

y

y













,        x0=2, xf=20,  Y0=[1 0]. 

Саь тяряфлярин щесабланмасы цчцн sisdu адлы M-файлы формалашдырырыг: 

function

 F = sisdu(x,y) 

F =[y(2);- y(1)-0.8*y(2)^3]; 

Сонра параметрлярин ядяди гиймятлярини веририк. 

>> x0=2; xf=20; y0=[1 0]; 

Артыг ясас ямр йериня йетириля биляр: 

>> [x,y]=ode45('sisdu',[x0 xf],y0); 

Щяллин графикини гураг: 

>> plot(x,y) 

 

Şəkil 10.6-da M-fayl və həllin Matlab proqramı göstərilmişdir. 

 

 

 

 

 

299 

 

 

                                     

Şəkil 10.6. Həllin qrafikləri

 

 

 

10.4. Diferensial t

ənliklərin həllinə aid texniki misallar

 

 

1.Yuxarı  atılmış  cismin  hərəkəti.  Yerin  qravitasiya  sahəsində  cismin 

sərbəst düşməsi sadə halda 

d

2

y/dt

2

=-mg 

 tənliyi  ilə  yazilır.  y=h  -  hündürlük, 

m;  t-  zaman,  san.;







y

-  sürət, 

m/san.; 

g=9.8 

m/san

2

. 

     Başlanğıc şərt  

).

10

;

0

(

)

,

(

0







y

y

y

Yəni cisim yerin səthindən atıldığından 

başlanğıc hündürlük h=0.Start sürəti isə v=10 m/san-dir. Havanın sürəti nəzərə 

alınmır. 

     Şəkil  10.7-də  hərəkət  tənliyinin  həll  proqramı  və  qrqfiki  təsviri  

göstərilmişdir. 

 

     

 

 

 

300 

 

 

 

 

 

Şəkil 10.7

 

     Şəkildən  göründüyü  kimi,  cisim  parabola  qanunu  üzrə  yuxarı  qalxaraq 

h

max

  nöqtəsinə  çatdıqdan  sonar  enməyə  başlayır.  Sürət  isə  xətti  qanun  üzrə 

dəyişir.Yuxarı  qalxdıqca  azalır,  h

max

  (1  san.  sonra)sonara    istiqamət 

dəyişdiyindən   mənfi işarə ilə artmağa başlayır. 

Şəkil 10.8-də həllin Simulink paketində həll sxemi gəstərilmişdir. 

 

301