Hidenori Noguchi, Kohei Uosaki, Nanolayer tadqiqotida, 2017 yil

Nochiziqli qutblanishdan kelib chiqqan E elektr maydoni Maksvell to'lqin tenglamasini quyidagicha qanoatlantiradi:
(41)
Haqiqiy jismoniy maydonlar ham ijobiy, ham salbiy chastota komponentlarini o'z ichiga oladi. Ushbu komponentlarni tanlashga qarab, o'ziga xos optik nochiziqli jarayonlar tavsiflanadi. Odatda uchinchi tartibli optik jarayonlar, uchinchi garmonik avlod, yig'indi chastotasi va kogerent anti-Stokes Raman tarqalishi (CARS) sxematik tarzda 6-rasmda ko'rsatilgan .

Toʻliq oʻlchamdagi rasmni yuklab olish uchun tizimga kiring
6-rasm . Uchinchi tartibli optik jarayonlar uchun energiya darajasining sxematik diagrammasi: (a) uchinchi garmonik avlod, ō ₂ = 3ō ₁ ; (b) yig'indisi chastota hosil qilish, ō ₄ = ō ₁ + ō ₂ + ō ₃ ; (c) kogerent anti-Stokes Raman tarqalishi (CARS), ō ₃ = ₂ ō ₁ - ō ₂ .
_{ō 4} =ō ₁ + ō ₂ + ō ₃ yig'indisi chastotasida qutblanish uchun E ₁ , E ₂ va E ₃ amplitudali uch turdagi lazerlar mavjud bo'lganda, l masofada elektr maydon amplitudasi E ₄ bo'lishi mumkin . quyidagicha ifodalansin:
(42)
Bu erda D k , fazaga mos keladigan parametr deb ataladi, D k = k ₁ + k ₂ + k ₃ - k ₄ bilan berilgan . To'r maydonining intensivligi I ₄ quyidagicha yozilishi mumkin:
(43)
bunda k _i = e ^1/2 _i ō _i / c . Mana bu  dielektrik doimiy e _i = 1 + 4p ch ^{(1) sinishi} n _i ko'rsatkichining kvadratiga teng . Hozirgacha chiziqli bo'lmagan to'lqinlarni aralashtirish jarayonlari klassik usulda ko'rib chiqildi. Signalning har bir tushayotgan lazer maydonining intensivligi mahsulotiga mutanosib ekanligi ko'rsatilgan va signalni kuzatish uchun fazaning mos kelishi sharti D k = 0 bajarilishi kerak.
Materialning chastotaga bog'liqligini, ayniqsa chiziqli bo'lmagan jarayonning rezonans kuchayishini o'rganish uchun uchinchi tartibli nochiziqli sezgirlikning tuzilishini aniqlab olish kerak. Buni zichlik matritsasi uchun harakat tenglamasini echishda nurlanish maydoni klassik, moddiy tizim esa kvant-mexanik usulda ishlanadigan yarim klassik usul yordamida amalga oshirilishi mumkin . (31) . Olingan qutblanish dipol momentining m = e r kutilgan qiymatida quyidagicha beriladi: 
(44)
bu yerda r tenglamaning yechimi. (31) barqaror holat holatida.
Ikki fotonli yutilish uchinchi tartibli jarayon sifatida qaralishi mumkin, bunda ō ₁ va ō _{2 da ikkita lazer} i dan f holatlargacha bo'lgan moddalarning atomlari yoki molekulalarini qo'zg'atadi . Rezonanssiz ikki-fotonli yutilish koeffitsienti uchinchi tartibli nochiziqli sezuvchanlik ch″(3)ning xayoliy qismiga chiziqli proportsional bo‘lib, u quyidagicha ifodalanadi:
(45)
Chiziq shakli funksiyasi g (ℏ D ō) quyidagicha berilgan:
(46)
Dō=ō _f - bilan ō _i -ō ₁ - ō ₂ va N _i ( N _f ) boshlang'ich (yakuniy) holatdagi atomlar yoki molekulalar soni.