Hisoblash usullari zamonaviy matematikaning ajralmas qismi sifatida. Diskretlashtirish, Sezgirlik. Xatoliklar Manbalari. Absolyut nisbiy va limit nisbiy xatolik. Qiymatli va ishonchli raqamlar. Funkstiyaning xatoliklari

1. 
   Kirish. Hisoblash usullari zamonaviy matematikaning ajralmas qismi sifatida. Diskretlashtirish, Sezgirlik. Xatoliklar Manbalari. Absolyut nisbiy va limit nisbiy xatolik. Qiymatli va ishonchli raqamlar. Funkstiyaning xatoliklari. Xatolikning teskari masalasi.
   

Hisoblash usullari – bu matematik modelga mos algoritmlarni qo‘llashga asoslangan amaliy matematika masalalarini taqribiy yechish usullari. Hisoblash usul- lari analitik usullardan farqli ravishda umumiy yechimni emas, balki xususiy yechimni beradi. Bunda sonli va mantiqiy massivlar ustida yetarli sondagi arifmetik va mantiqiy amallar bajarilishi talab qilinadi. Hisoblash usullari fanining sonli tahlil qismi ikki turdagi sonli usullarga bo‘linadi: 1) to‘g‘ri usullar (ma’lum bir sondagi amallar bilan yechimni topishga asoslangan usullar); 2) iteratsion usullar (qaytarilu- vchi (siklik) jarayonlardan foydalanishga asoslangan va ketma-ket yaqinlashuvchi natijalarni olish imkonini beruvchi usullar). Hisoblash usullariga ehtimoliy usullar (yechimni tasodifiy izlash) ham kiradi, ammo bu usullar mazkur o‘quv qo‘llanma doirasida qaralmaydi.

Diskretlashtirish usullarining yaqinlashuvchanligi tushunchasini qaraylik. Bu usullarning g‘oyasi uzluksiz paramerlarga ega masalani funksiyalari fiksirlangan nuqtalarda hisoblanadigan masalaga keltirishdan iborat. Bu yerda yaqinlashish deganda diskret model yechimlari qiymatining mos ravishda boshlang‘ich masala yechimlari qiymatiga diskterlashtirish parametrlari nolga intilganda yaqinlashishi tushuniladi (masalan, kvadratur formulalar).

Yaqinlashishni o‘rganishda uning eng muhim tushunchalari bu uning ko‘rinishi, tartibi va boshqa xarakteristikalari. Bu tushuncha quyida aniq sonli usullarni o‘rganishda qaraladi.
Shunday qilib, masalaning yechimini biror aniqlikda olish uchun uning qo‘yilishi korrekt bo‘lishi, uni yechish uchun qo‘llanilayotgan usul esa yaqinlashuvchanlikka ega bo‘lishi lozim ekan.

Hisoblash usullari bilan olingan natijalar, odatda, taqribiy bo‘ladi, ya’ni ular biror xatolik bilan olinadi. Xatolik deb natijaning aniqligini xarakterlovchi biror miqdor tushuniladi. Natijaning xatolik manbalari: matematik model; boshlang‘ich ma’lumotlar; taqribiy yechish usuli; hisoblashlardagi yaxlitlash.

Matematik modelning xatoligi dastlabki masalani tuzishda paydo bo‘ladigan fizik farazlar va soddalashtirishlardan hamda foydalanilayotgan matematik apparatdan bog‘liq.
Dastlabki axborotlardagi xatolikning sababi, masalan, noto‘g‘ri o‘lchash, biror miqdorlarni chekli kasrlarda ifodalab bo‘lmaslik bo‘lishi mumkin.
Bu har ikkala xatolik birgalikda yo‘qotib bo‘lmaydigan xatolik deb ataladi.
Usulning xatoligi aniq operatorlarni va boshlang‘ich ma’lumotlarni taqribiysiga almashtirishdan paydo bo‘ladi, masalan, integralni yig‘indiga, hosilani chekli ayirmaga, funksiyani ko‘phadga almashtirishda va cheksiz iteratsion jarayon natijasini chekli iteratsiyalarda qurib olishda paydo bo‘ladi. Bu yo‘qotish mumkin bo‘lgan xatolik bo‘lib, masalan, usul biror parametrga nisbatan quriladi, bu parametr biror limitga intilsa, u holda usulning xatoligi nolga intiladi.
Hisoblash xatoligi oraliq va yakuniy natijalarni yaxlitlash natijasida paydo bo‘ladi. Shunday qilib, biror masalani kompyuterda yechish natijasining to‘la xatoli- gi yo‘qotib bo‘lmaydigan (matematik modelning xatoligi; dastlabki axborotlardagi xatolik) va yo‘qotib bo‘ladigan (usulning xatoligi; hisoblashlardagi yaxlitlash xatoli- gi) xatoliklar yig‘indisidan iborat ekan.
Quyida hisoblash xatoliklariga to‘xtalib o‘tilgan. Hozirgi zamonaviy kompyuterlar asrida bu masalaga to‘xtalib o‘tish o‘ta mayda-chuydalarga e’tiborni qaratishdek tuyiladi, aslida esa bu unday emas. Buni quyidagi ikkita misol orqali tushuntirish mumkin: 1) Bizga ma’lumki, sinus funksiyaning qiymati Teylor formu-

lasi bo‘yicha quyidagicha hisoblanadi:

hisoblashlar absolyut aniq bajarilsa bu formula x argumentning ixtiyoriy qiymatida aniq javobni beradi. Endi x argumentning har xil qiymatlarida sinus funksiyani: ush- bu qatorning 20 ta hadini ushlagan holda va maksimal aniqlikda hisoblagan holda (masalan, MS Excel dan foydalanga holda) hisoblaylik:

x	1	10	15
Teylor formulasi bo‘yicha	0,841470985	–0,54402179	–1,4127068
sin(x) ning aniq qiymati	0,841470985	–0,54402111	0,65028784

Jadvalning oxirgi ustunidagi natijalar hech bir qolibga sig‘maydi. Bu hisoblash- lar jarayonida yig‘ilgan xatoliklar natijasi. Agar qatorning 20 ta emas, balki 100 ta hadidan foydalansangiz ham ushbu xatoni to‘g‘rilay olmaysiz. Buni tekshirib ko‘ring. 2) Ushbu (a – b)/c = a/c – b/c formulani a = 1001; b = 1000,9999999999; c = 0,0000000003 uchun hisoblaylik. Hisoblashlarni MS Excel da maksimal aniqlik bilan bajaraylik. Tenglikning chap tarafi natijasi 3333,3333249, o‘ng tarafi natijasi 3333,333007, aniq javob 10000/3. Ko‘rinib turibdiki, har ikkala javob ham aniq javobdan farq qiladi, ayniqsa ikkinchisining farqi katta.