Хосмас интеграллар

Хосмас интеграллар
Режа:

1. 
   Чегаралари чексиз бœлган интеграллар.
   
2. 
   Хосмас интегралнинг таърифи.
   
3. 
   Узлуксиз функциянинг хосмас интеграли.
   
4. 
   Хосмас интегралларнинг яқинлашиши.
   

1. 
   Чегаралари чексиз бœлган интеграллар
   

(х) функция х нинг а  х   оралиқдаги барча қийматларида аниқланган ва узлуксиз функция бœлсин. Ушбу

интегрални қарайлик. Бу интеграл ќар қандай b > a учун маънога эга. b œзгарганда интеграл ќам œзгаради. Бу интеграл b нинг узлуксиз функциясидир. b+ бœлганда бу интегралнинг қандай œзгаришини қараймиз.
Таъриф. Агар чекли лимит

мавжуд бœлса, бу лимит (х) функциянинг [a,+] интервалдаги хосмас интеграли дейилади ва

Бу ќолда хосмас интеграл мавжуд ёки яқинлашувчи дейилади.
Агарда b + да нинг чекли лимити мавжуд бœлмаса
у ќолда хосмас интеграл мавжут эмас ёки узоқлашувчи дейилади.

1. 
   м и с о л. интеграл ќисоблансин.
   

Е ч и ш. Хосмас интегралнинг таърифига мувофик қуйидагини топамиз.

2. 
   Узлукли функциянинг интеграли
   

(x) функция а  х < c бœлганда аникланган ва узлуксиз бœлсин, х=с бœлганда эса ё аниқланмаган, ёки узилишга дучор бœлсин. Бу ќолда интегрални интеграл йиђиндининг лимити деб қараш мумкин эмас, чунки (х) функция [a,c] кесмада узлуксиз эмас ва шунинг учун бу лимит мавжуд бœлмаслиги ќам мумкин. с нуқтада узилишга эга бœлган (х) функциянинг

интеграли қуйидагича аниқланади:

Агар œнг томонда турган лимит мавжуд бœлса, у ќолда интеграл яқинлашувчи хосмас интеграл дейилади, акс ќолда интеграл узоқлашувчи дейилади.
Агар (x) функцияси [a,c] кесманинг чап учида (яъни х=а нуқтада) узиладиган бœлса, у ќолда таърифга мувофиқ

Агар (х) функция [a,c] кесма ичидаги бирор x=x₀ нуқтада узлукли бœлса, тенгликнинг œнг томонидаги хосмас интегралларнинг иккаласи ќам мавжуд бœлса, у ќолда

мисол. Ушбу интеграл ќисоблансин

Ечиш:

1-т е о р е м а. Агар (x) ва (x)функциялар [a, c] кесманинг с нуқтасида узлукли бœлса ва бу кесманинг барча нуқталарида (x)  (x)0 тенгсизликлар бажарилиб, яқинлашувчи бœлса, у ќолда ќам яқинлашувчи бœлади.
2- т е о р е м а. Агар (x) ва (x) фукциялар [a,c] кесманинг с нуқтасида узулувчи бœлса ва бу кесманинг барча нуқталарида (x) (x) 0
тенгсизликлар бажарилса ва узоқлашувчи бœлса, у ќолда ќам узоқлашувчи бœлади.
3- т е о р е м а. Агар (x) функция [a,c] кесмада ишора œзгартирувчи бœлиб, фақат с нуқтадагина узулувчи бœлса ва бу функциянинг абсолют қийматидан олинган хосмас интеграл яқинлашувчи бœлса, у ќолда бу функциянинг œзидан олинган интеграл ќам яқинлашувчи бœлади.

Мавзу бœйича такрорлаш саволлари

1. 
   Қандай лимит функциянинг интервалдаги хосмас интеграли дейилади?
   
2. 
   Хосмас ни ќисобланг
   
3. 
   Хосмас интегралларннинг яқинлашиши ќақидаги теоремаларни келтиринг.
   
4. 
   Қуйидаги хосмас ни ќисобланг.