Hozirda Sermelo Frenkel aksiomatik tizimi (ZF) deb yuritiladi

Misol. A={1, 2, 3}, B={4, 5} bo’lsa u holda AxB={(1;4), (1;5), (2;4), (2;5), (3;4), (3;5)} bo’ladi


4). Berilgan shartlarda tenglama yechimining mavjudligi va yagonaligi bilan bog‘liq masalalarni mos metrik fazolardagi biror akslantirishning qo‘zg‘almas nuqtasi mavjudligi va yagonaligi haqidagi masala ko‘rinishida ifodalash mumkin. Qo‘zg‘almas nuqta mavjudligi va yagonaligi belgilari ichida eng sodda va shu bilan birga juda muhim belgi – bu «Qisqartirib akslantirish prinsipi» deb nomlanuvchi belgidir.
X metrik fazo va uni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi A son mavjud bo‘lib,0;1 akslantirish berilgan bo‘lsin. Agar shunday nuqtalar uchun  barcha x y X ,     Ax Ay x y , ,    (1) tengsizlik bajarilsa, A akslantirish qisqartirib akslantirish deb ataladi. Har bir qisqartirib akslantirish uzluksizdir. Haqiqatan ham, agar bo‘lgani uchun    Ax Ax x x n n , ,    bo‘lsa, u holda   , 0     x x x x n n . Ax Ax n nuqta mavjud bo‘lib akslantirish uchun shunday x X Agar A X X : tenglik bajarilsa, x nuqta A akslantirishning qo‘zg‘almas nuqtasiAx x deyiladi.

Agar f moslikda ikkinchi to’plamning har bir elementiga birinchi to’plamning 1 tadan ortiq bo’lmagan elementi mos qo’yilgan bo’lsa, f moslik in’ektiv deyiladi

Syur’ektiv va in’ektiv moslik bir so’z bilan biektiv deyiladi.
Hamma yerda aniqlangan funktsional moslik akslantirish deyiladi.
X va Y to’plamlar orasidagi f moslik biektiv akslantirish bo’lsa, X va Y to’plamlar orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatilgan deyiladi
X va Y to’plamlar orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatilgan bo’lsa, bu to’plamlar teng quvvatli deyiladi.
Barcha natural sonlar sonlar to’plami N ga teng quvvatli to’plamlar sanoqli to’plam deyiladi.
D(g)f va g sonli funksiyalar berilgan va E(f) D(f)bo'lsin. f va g funksiyalar kompozitsiyasi deb D (f) da berilgan va har qaysi x songa g(f(x)) sonni mos qo'yuvchi yangi F(x) funksiyaga aytiladi (lot. compositio - tuzish). F funksiya gof orqali ham belgilanadi: (g°f)(x)=g(f(x)). Kompozitsiya ifodasini tuzish uchun g(x) dagi x o'rniga f funksiya ifodasi qo'yiladi.