I. A. Karimov Respublikamizda ta'lim va tarbiya sohasidagi islohotlar bugungi dolzarb, ertangi taqdirmizni hal qiluvchi muammoga aylanmoqda. Jamiyatimizning yangilanishi, hayotimiz taraqqiyoti va istiqboli, amalga

Ta’rif-1.1. Tartiblangan uchlikda vektor oxiridan vektorlar tekisligiga qaraganimizda dan ga qisqa burilish yo‘nalishi soat mili yo‘nalishiga qarama-qarshi yo‘nalgan bo‘lsa, bu uchlik o‘ng uchlik deb ataladi. Agar bu yo‘nalish soat mili yo‘nalishi bilan ustma-ust tushsa, uchlik chap uchlik deyiladi.
B izga o‘ng ( va chap) uchlik berilgan bo‘lsin.


Ta’rif-3.2. Ikkita va vektorlarning vektor ko‘paytmasi deb shunday vektorga aytiladiki, bu vektor kabi belgilanadi va:
1. ning uzunligi va vektorlarga qurilgan parallelogramm yuziga tengdir:     Sin
2. vektor va vektorlarga perpendikulyar bo‘lishi kerak:  ,  ;
3. , vektorlar va vektor ko‘paytma o‘ng uchlik hosil qiladi
Vektor ko‘paytmaning xossalari:

1. 
    ;
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   

Tasdiq-3.1. (Yordamchi fakt).Berilgan tekislikda vektor va unga perpendikulyar birlik vektor berilgan bo‘lsin. Agar vektor tekislikka perpendikulyar va o‘ng uchlik bo‘lsa, tekislikda yotuvchi har qanday vektor uchun tenglik o‘rinlidir.



h

g

S

a

h

g

S

a

h
Isbot.3.1) Vektorlar tengligini ko‘rsatish uchun ularning yo‘nalishlari bir xil va uzunliklari tengligini ko‘rsatamiz. Vektor ko‘paytmaning ta’rifiga ko‘ra uninig uzunligi va vektorlarga qurilgan parallelogrammning yuziga tengdir:  . Chap tomondagi vektorning uzunligi esa   ga tengdir. Agar parallelogrammning asosi sifatida vektorni olsak, uning yuzasi ga tengdir. Bu erda balandlik bo‘lib,   tenglik o‘rinlidir.Demak vektorlarning uzunligi tengdir. Endi ularning yo‘nalishi bir xil ekanligini ko‘rsatamiz. Agar -o‘ng uchlik bo‘lsa, va vektorlar bir xil yo‘nalishga ega. Bu holda va vektorlar vektorning bir tomonida joylashgan va >0 bo‘ladi. Agar -chap uchlik bo‘lsa, <0 va vektor vektorga qarama qarshi yunalgandir. Demak, vektor yunalishi vektor yo‘nalishi bilan bir xil bo‘ladi. Natijada tenglikni hosil qildik.
Vektorlarning aralash ko’paytmasi va uning hossalari.
Ta’rif-3.3. Uchta vektorlarning aralash ko‘paytmasi deb, miqdorga aytiladi va quyidagi ko‘rinishda belgilanadi:  .
Tasdiq-3.2. Berilgan nokomplanar (chiziqli erkli) vektorlar o‘ng uchlikni tashkil qilsa, ularning aralash kupaytmasi ularga qurilgan parallelipipedning hajmiga, aks holda esa hajmning manfiy ishora bilan olinganiga tengdir.

Chizma-3.4

Isbot: Biz vektorlarga qurilgan parallelipipedning hajmini bilan belgilaymiz. Agar bilan va vektorlarga qurilgan parallelogrammning yuzasini belgilasak, tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu erda vektor ko‘paytma bilan bir xil yo‘nalgan birlik vektordir. Skalyar ko‘paytmani proeksiya yordamida yozsak, tenglikni hosil qilamiz.

B
u erda absolyut qiymati bo‘yicha vektorlarga qurilgan va asosi , vektorlarga yasalgan parallelogrammdan iborat parallelipipedning balandligiga tengdir. Agar o‘ng uchlikni tashkil qilsa, , agar chap uchlikni tashkil qilsa, tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu erda qaralayotgan parallelipipedning balandligidir. Shuning uchun formulani hisobga olsak biz bevosita tasdiq isbotini olamiz.
Endi biz vektor ko‘paytma xossalarini isbotlashga kirishamiz.
3.1-xossa isboti va uchliklarning orientatsiyalari har xil ekanligidan kelib chiqadi: birinchi uchlik o‘ng orientatsiyaga, ikkinchi uchlik chap orientatsiyaga egadir.
3.2-xossani isbotlash uchun ikkita holni ko‘ramiz va .
Birinchi holda va vektorlar bir xil yo‘nalishga ega va shuning uchun va vektorlar bir hil orientatsiyaga ega. Demak va vektorlar uzunliklari teng va bir xil yo‘nalishga ega.
Ikkinchi holda va vektorlar yo‘nalishlari qarama qarshi va va vektorlar uchliklari har xil orientatsiyaga ega bo‘ladi. Bundan esa va vektorlar qarama-qarshi yo‘nalishga ega ekanligi kelib chiqadi. Demak, va vektorlar bir xil yo‘nalishga ega va uzunliklari tengdir.
3.3 –xossaning isbotini keltiramiz.
a) va komplanar vektorlar, – o‘ng uchlik bo‘lib, vektorlar 3.1-tasdiq shartlarini qanoatlantiruvchi vektorlar bo‘lsa, ikkita vektor ko‘paytmani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin: va . Endi proeksiya xossasidan foydalanib, + tenglikni hosil qilamiz.
b) va komplanar vektorlar emas;
Bu holda , vektorlarning barchasi vektorga
perpendikulyar bo‘lganligi uchun ular komplanar oilani tashkil etadi. Demak ular chiziqli bog‘lanishli bo‘ladi, ya’ni kamida bittasi noldan farqli , , sonlari mavjud bo‘lib

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglikdan

Chizma-3.5



tenglikni hosil qilib, uning ikkala tomonini ga skalyar ko‘paytiramiz va

tenglikni hosil qilamiz. Yuqoridagi aralash ko‘paytma haqidagi tasdiqqa ko‘ra
va
aralash ko‘paytmalarning absolyut qiymatlari mos ravishda , hajmlarga tengdir.
Bu parallelipipedlarning asoslari sifatida mos ravishda , va vektorlarga qurilgan parallelogrammlarni olsak, ularning balandligi tengligini ko‘ramiz. Shuning uchun va tengliklardan va ularning asoslari yuzalari ham tengligidan bu hajmlarning tengligi kelib chiqadi.
Endi va aralash ko‘paytmalar bir xil ishoralarga ega bo‘lishi, uchlik orientatsiyasi uchlik orientatsiyasi bilan ustma-ust tushishidan kelib chiqadi. Demak,  . Bundan esa munosobatni hosil qilamiz. Xuddi shunday usul bilan tenglikni isbotlaymiz. Demak, tenglik o‘rinlidir.
3.4-xossaning isboti va vektorlar parallel bo‘lganda ular orasidagi burchakning sinusi nolga tengligidan kelib chiqadi.