I-bob. Birinchi tartibli differensial tenglamalar
Download 0.61 Mb. Pdf ko'rish
|
2 5411289782254830393
|
max ( , )
max 1 ( , ) ( ,
) x b M f t x
t e a e t x t x
= = + = + + ∈Π ∈Π , min
, 1 b b h a a e = + + 5-
misolga o’xshash teng bo’ladi. Buni b bo’yicha differensiallab, quyidagi 57
, 1 b b a a e = + + 0 1 b b b a e ∂ = ∂ + +
tenglamani yechib, b a e − = , 2 ( 1) a a a e − + + = ko’rinishdagi extremum nuqtalarni topamiz. Bundan 0, 2 a ≥ . Demak, 0,8
1, 2 t ≤ ≤ segmentda yechim mavjud va yagona. 7-Misol. Yechim yagona bo’lishining yetarlilik shartidan foydalanib, xoy
tekisligida 2 2 y xy y ′ = + tenglamaning yechimi yagona bo’ladigan biror bir sohani aniqlang. Yechish . 2 ( , )
2 f x y
xy y = + funksiya xoy tekisligining ixtiyoriy bo’lagida uzluksiz, uning ( , )
2( ) f x y x y y ∂ = + ∂ hosilasi shu tekislikning ixtiyoriy D sohasida ham uzluksiz bo’ladi. Shunday qilib Pikar teoremasi shartiga asosan har bir 0 0 ( , ) x y D ∈ nuqtadan berilgan tenglamaning yagona integral chiziq’i o’tadi. Mustaqil yechish uchun mashqlar:
I. Ketma-ket yaqinlashish usuli bilan quyidagi Koshi masalalarini yeching: ( 0 1 2 , , y y y larni toping ) (196-201): 196.
2 2 3 1, (1) 1
y y x y ′ =
+ − = .
197. 1 sin ,
( ) 2 y x y y π π ′ = + = . 198. 2 1 (1
) , (0) 1 y x y
y y ′ = − + + = . 199. 1 , (0) 1 y y y e y − ′ = + = . 200. 2 , ; (0) 1,
(0) 2 dx dy y x x y dt dt = = = = . 201. 2 2 3 , 1; (1) 2 1 d x dx tx x dt t dt = = − = = . II. Berilgan tenglamaning yechim yagona bo’ladigan biror bir sohani aniqlang (202-205): 202.
2 2 , (1) 1 y y x y ′ = − = . 203. , (1)
0 x dx t e x dt = + = . 204. ( 2) x y y x ′ − = − . 205. ( )
y x y
y x ′ − = . 7-§. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglamalar. Maxsus yechim. 7.1.-Ta’rif. Ushbu 58
, ,
0 dy F x y dx = (7.1) ko’rinishdagi tenglamaga birinchi tartibli hosilaga nisbatan yechilmagan differensiai tenglama deyiladi. 1- Misol. a) 3 ( 2) 0; y y x e ′ + + = b) 2 2 2 ( 1) x y yy y e ′ ′ − = − . 7.2.- Ta’rif. Ushbu 1 1 1 ( )
( , )( ) ......
( , ) ( , )
0 n n n n y P x y y P x y y P x y − − ′ ′ ′ + + + + = (7.2) ko’rinishga ega bo’lgan tenglamaga n-darajali birinchi tartibli differensial tenglama deyiladi. (7.2) tenglamani y′ ga nisbatan yechib, 1 2 ( , ), ( , ),......, ( , ); ( ) k y f x y
y f x y
y f x y
k n ′ ′ ′ = = = ≤
haqiqiy yechimlariga ega bo’lsak, bu yechimlarning integrallaridan tuzilgan
1 2 ( , , )
0, ( , , )
0,......, ( , , )
0 k F x y F x y F x y
= = =
to’plam (7.2) tenglamaning umumiy integrali deyiladi. 2- Misol. 2 2 (2 ) ( ) 0 y x y y x xy ′ ′ − + + + = tenglamani yeching. Yechish: 1 2 2 2 2 (2 ) 4 4 2 ; 2 2 x y x y x xy x y y y + + + − − + +
′ = =
2 2 2 2 2 (2 ) 4 4 2 ; 2 2 x y x y x xy x y y y + − + − − + −
′ = =
1 2 ; y x y y x ′ ′ = +
= . Demak, 1 2 2 1; 2 x x y ce x y c = − −
= + funksiyalar berilgan tenglamaning yechimlari bo’ladi, ya’ni yechim
2 ( 1 ) 0 2 x x y x ce y c
+ + − − −
=
ko’rinishga ega. 3- Misol. 3 2
2 ( ) 2 y x y y x ′ ′ ′ − + = tenglamani yeching. Yechish:
2
2 ) ( 2 )
0, y y x y x ′ ′ ′ − + − =
2 ( 2 )(( ) 1) 0 y x y ′ ′ − + = , 2 ( ) 1 0, 2 0, y y x ′ + = ′ −
=
59
birinchi tenglama haqiqiy yechimga ega emas. Ikkinchi tenglamadan esa,
2 y x c = + yechimga ega bo’ladi. (7.1), (7.2) tenglamada y′ ni aniqlash mumkin bo’lmaganda quyidagi xususiy xollarni qaraymiz: I.
( ) , 0 F y y′
= tenglamada y ni
y ′ orqali topish mumkin bo’lsin, ya’ni ( ) y
ϕ ′ = . U holda y p ′ = yoki dy pdx
= almashtirishni bajarib, ( ) pdx
p dp ϕ ′ = tenglamani hosil qilamiz va bu tenglamani integrallab , ( ) p
dp c p ϕ ′ = + ni topamiz. Demak, berilgan tenglama yechimi quyidagi parametrik ko’rinishga ega bo’ladi:
( )
( ). p x dp c p y p ϕ ϕ ′ = + =
4- Misol.
sin cos
0 y y y y ′ ′ ′ + − = tenglamani yeching. Yechish: Berilgan tenglamada y ni y′ orqali topish mumkin bo’lgani uchun y
′ = yoki dy pdx
= almashtirishni bajarib, hamda hosil bo’lgan tenglamani ikkala tomonini differensiallab, cos
pdx p pdp =
tenglamaga ega bo’lamiz. Bundan 0 p = (ya’ni 1 y = ) va
sin x p c = +
yechimlarni topamiz. Demak, berilgan tenglama yechimi 1 y = va
sin sin
cos x p c y p p p = + = + bo’ladi. ( ) , 0 F y y′
= tenglama y va
y′ ga nisbatan yechilmasin, biroq y
y′ lar
( ) y t ϕ = va ( ) y p t ψ ′ = = parametrik ko’rinishga ega bo’lsin, u holda
( ) dy t dt ϕ ′ = va ( )
dy pdx
t dx ψ = = bo’ladi, bundan ( ) ( )
t dt t dx
ϕ ψ ′ =
ya’ni ( ) ( )
t dx dt t ϕ ψ ′ = . Shunday qilib, berilgan tenglama yechimi ( )
( ) ( )
t x dt c t y t ϕ ψ ϕ ′ = + = bo’ladi. 5- Misol. 2 2 2 5 5 5 y y a ′ + = tenglamani yeching. Yechish: Berilgan tenglama uchun 5 sin y a t = va
5 cos
y a t ′ =
almashtirish o’rinli, demak,
5 4 3 5 4 ( sin ) sin
5 5 5 5 3 s s a t t x dt c dt c tg t
tgt t c
aco t co t ′ = + = + =
− + + , ya’ni 60
berilgan tenglama yechimi 3 5 5 5 5 3 sin
x tg t
tgt t c
y a t = − + + = bo’ladi. II. ( ) , 0 F x y′ = tenglamada x ni
y′ orqali topish mumkin bo’lsin, ya’ni ( ) x
ϕ ′ = . U holda y p ′ = yoki 1 dx
p = almashtirishni bajarib, ( ) dy p p dp ϕ ′ = tenglamani, bundan esa ( ) y
p dp c ϕ ′ = + ni topamiz. Demak berilgan tenglama yechimi quyidagi parametrik ko’rinishga ega bo’ladi:
( )
( ) . x p y p p dp c ϕ ϕ = ′ = +
6- Misol. ln sin 0 y y x ′ ′ + − =
tenglamani yeching. Yechish: Berilgan tenglama x ga nisbatan yechiladi, ya’ni ln sin
x y y ′ ′ = + . Demak, y p
va , dy pdx = almashtirishdan so’ng, 1 cos
dy p dp
p p = + ga ega bo’lamiz. Oxirgi tenglikni integrallab, cos sin
y p p p p c
= + + + ni olamiz. Demak, berilgan tenglamaning umumiy yechimi cos sin
ln sin
y p p p p c
x p p = + + + = + bo’ladi. III. a) Logranj tenglamasi.
7.3. -Ta’rif. Ushbu ( )
( ) y x y y ϕ ψ ′ ′ = +
ko’rinishdagi tenglamaga Logranj tenglamasi deyiladi. Logranj tenglamasini yechishda y p
almashtirish va differensiallash yordamida ( ) x p
ga nisbatan chiziqli tenglamaga keltiriladi. 7-Misol. 2 2
y xy y ′ ′ = − tenglamani yeching. Yechish: Berilgan tenglama Logranj tenglamasi bo’lib, uni yechishda y p ′ = almashtirishni e’tiborga olib, tenglamaning ikkala tomonini differensiallaymiz. 2 (2 4 ) 2 2 8 , pdx d xp p xdp
pdx pdp
= − = + −
yoki
2 8 0 xdp pdx pdp
+ − = , 2 8 dx p x p dp + = bu yerda x, p ning funksiyasi. Ma’lumki, oxirgi tenglama ( )
x p funksiyaga nisbatan chiziqli tenglama bo’ladi va uning 61
yechimi 2 8 3 c x p p = + . Demak, berilgan tenglama umumiy yechimi quyidagicha yoziladi: 2 2 8 ; 3 2 4 . 3 c x p p c y p p = + = +
Bundan tashqari, tenglamaning berilishidan ravshanki 0 y = ham berilgan tenglamaning yechimi bo’ladi, bu yechim esa const =
hech qanday qiymatida ham umumiy yechimdan kelib chiqmaydi.
b) Klero tenglamasi. Logranj tenglamasida ( )
y y ϕ ′ ′ = bo’lsa, u holda ( )
y xy y ψ ′ ′ = +
ko’rinishdagi tenglama hosil bo’ladi, bu tenglamaga esa Klero tenglamasi deyiladi.
Klero tenglamasi Logranj tenglamasining xususiy holi bo’lib, uni yechishda ham y p ′ = almashtirish va tenglamani x bo’yicha differensiallash orqali
o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltiriladi. 8- Misol. , ( ) 2 a y xy a const
y ′ = + = ′ tenglamani yeching. Yechish: Berilgan tenglama Klero tenglamasi bo’lib, uni yechishda y p
va , dy pdx = almashtirishdan so’ng hosil bo’lgan 2 0 2 a xdp
dp p − =
tenglamani yechib, 2 2 a x p = va , (
) p c const = = larga ega bo’lamiz. Demak berilgan tenglamaning yechimlari , ( , )
a y cx a c const
c = + = va
2 2 a x x y = ± ± bo’ladi. 7.4.-Ta’rif. Agar (7.1) tenglamaning ( )
y x ϕ = yechimning har bir nuqtasini ixtiyoriy atrofidan, shu nuqtasida umumiy urinmaga ega bo’lgan boshqa bir yechim o’tsa, bu yechim (7.1) tenglamaning maxsus yechim deyiladi. ( , , ) F
= funksiya uzluksiz va uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsin.
7.5.-Ta’rif. Ushbu 62
( , , ) 0 ( , , ) 0 F x y y
F x y y y ′ = ′ ∂ = ′ ∂ (7.3) sistemaning y ′ ga nisbatan yechimidan hosil bo’lgan ( , )
0 x y
ϕ =
nuqtalarning geometrik o’rniga
( , , ) 0 F x y y
′ =
differensial tenglamaning diskriminant egri chizig’i deyiladi. (7.1) tenglamaning diskriminant egri chizig’i maxsus yechim bo’lishini, ya’ni har bir nuqtasida boshqa yechimga urinishini tekshirib ko’rish talab qilinadi. ( , , ) 0
′ = differensial tenglamaning ( , , ) 0
Φ = integral egri chiziqlar oilasi ( )
y x ϕ = o’ramaga ega bo’lishi mumkin. Bu holda ( ) y
ϕ = egri chiziq berilgan tenglamaning maxsus yechimi bo’ladi. Agar ( , , )
x y C Φ = Φ
funksiya uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsa, u holda
( ) y x ϕ = o’ramaga ( , , )
0 ( , , )
0 x y C
x y C C Φ = ∂Φ = ∂ (7.4) tenglamalar sistemasini
qanoatlantiradi. Umuman olganda
( , , ) 0 x y C Φ = diskriminant egri chiziqlar oilasi ham (6.4) sistemani qanoatlantiradi, demak ( )
y x ϕ = o’ramani diskriminant egri chiziqdan ajratib olish kerak. Buning uchun esa diskriminant egri chiziqda Download 0.61 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|