I bob. Lokal modul uzluksizlik va uning asosiy xossalari

2-misol. Chegarasi bo’lakli silliq bo’lgan D sohada quyidagi elliptik sistemaning umumiy yechimini toping.

Yechilishi: , bo’lsin

, olsak
hosil bo’ladi. Endi , , ,
, belgilashlar kiritilsa, sistema ko’rinishga keladi.Buning xususiy yechimi ekanligidan umumiy yechimni ko’rinishda izlaymiz.Bunda tenglamaning umumiy yechimi.Bu yerdan kelib chiqadi.Bunda ixtiyoriy analitik funksiya


ekanligidan

kelib chiqadi. U holda , bo’ladi. [21].
3-misol. Chegaralangan va chegarasi bo’lakli silliq bo’lgan sohada quyidagi elliptik tenglamalar sistemasining umumiy yechimini toping [3]:

Yechilishi:u(x,y)=e^ax+by U(x,y), v(x,y)=e^ax+by V(x,y) deb olaylik. U holda

Bu yerdan

Endi, b=0, a=1 va G₁(x,y)=e^-x g₁(x,y), G₂(x,y)=-e^-x g₂(x,y) deb belgilasak, u holda quyidagi tenglamalar sistemasiga kelamiz:

Quyidagi almashtirishlarni kiritamiz:
W=V+iU, 2G=G₂+iG₁, z=x+iy, t= ,
Natijada berilgan tenglamalar sistemasi ushbu ko’rinishga keladi:
(1.4.1)
Ushbu tenglamaning xususiy yechimi ekanidan, umumiy yechimni ko’rinishida izlash mumkin. Bu yerda bir jinsli yoki Koshi-Riman tenglamalar sistemasi ning umumiy yechimi. Bu yechim ixtiyoriy analitik funksiyadan iborat bo’lgani uchun (1.4.1)

tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

, ekanidan

bu yerda ekanligi kelib chiqadi. Bundan esa