I bob. Uzluksiz funksiyalar. Funksiya va uning uzluksizligi 5

3-teorema. Asosiy elementar funksiyalar o‘zining aniqlanish sohasidagi barcha nuqtalarda uzluksiz bo‘ladi.
1-natija. Elementar funksiyalar o‘zining aniqlanish sohasidagi barcha nuqtalarda uzluksiz bo‘ladi.
4-teorema. Agar funksiya nuqtada uzluksiz va ( ) bo‘lsa, u holda shunday son topiladiki, uchun ( ) bo‘ladi.
Isboti. bo‘lsin. Aniqlik uchun deymiz, bu yerda .
son olamiz. funksiyaning nuqtada uzluksizligidan shunday son topiladiki, ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tengsizlik bajariladi. Bundan uchun bo‘ladi.
bo‘lsin. funksiyani qaraymiz. bo‘lgani sababli yuqoridagi isbotga asosan nuqtaning atrofi topiladiki, bu atrofda yoki bo‘ladi.
5-teorema (uzluksiz funksiya ishorasining turg‘unligi). Agar funksiya nuqtada uzluksiz va bo‘lsa, u holda shunday son topiladiki, uchun funksiya ishorasini saqlaydi, ya’ni funksiya bilan bir ishorali bo‘ladi.
Teoremaning isboti 4-teoremadan da kelib chiqadi.

2.2 Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari

Agar funksiya nitervalning har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lsa, u holda u intervalda uzluksiz deyiladi.
Agar funksiya intervalda uzluksiz bo‘lib, nuqtada o‘ngdan uzluksiz va nuqtada chapdan uzluksiz bo‘lsa, u holda funksiyaga kesmada uzluksiz deyiladi.
Kesmada uzluksiz funksiyalar bir qancha muhim xossalarga ega. Bu xossalarni teoremalar orqali ifodalaymiz. Bunda teoremalarning isbotini keltirmasdan, faqat geometrik talqinini ko‘rsatish bilan kifoyalanamiz.
6-teorema (Bolsano-Koshining birinchi teoremasi). funksiya kesmada uzluksiz va kesmaning oxirlarida turli ishorali qiymatlar qabul qilnsin. U holda shunday nuqta topiladiki, bu nuqtada bo‘ladi.
Teoremaning geometrik talqini: uzluksiz funksiyaning grafigi o‘qning bir tomonidan ikkinchi tomoniga o‘tganida o‘qni kesadi (25-shakl).
7-teorema (Bolsano-Koshining ikkinchi teoremasi). funksiya kesmada uzluksiz va , bo‘lsin. U holda shunday nuqta topiladiki, bo‘ladi.
Teoremaning geometrik talqini: uzluksiz funksiya bir qiymatdan ikkinchi qiymatga o‘tganida barcha oraliq qiymatlarni qabul qiladi (26-shakl).