I lm fan ta’limda innovatsion yondashuvlar, muammolar, taklif va yechimlar

Misol. 1)
mavjud emas


2-teorema. Agar va funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lsalar, u holda funksiyalar ham hosilaga ega bo’ladi. Bu hosilalar analizda o’tilgan formula orqali topiladi. Isboti ham xuddi shunday bo’ladi
Natija. 1) Ixtiyoriy ko’pxad kompleks tekislikni ixtiyoriy nuqtasida hosilaga egadir.
2) Ixtiyoriy ratsional funksiya nuqtadan tashqarida hosilaga egadir.
Faraz qilaylik,

funksiya biror D sohada (D(S) berilgan bo’lib, D bo’lsin.
3- ta’rif: Agar haqiqiy o’zgaruvchili va funksiyalar nuqta da diferensiallanuvchi bo’lsa, funksiya nuqta da haqiqiy analiz ma’nosida (kiskacha ma’noda) diferensiallanuvchi deyiladi.
3-teorema. funksiyaning nuqta da hosilaga ega bo’lishi uchun
_1. ning nuqta da haqiqiy analiz ma’nosida diferensiallanuvchi bo’lishi va
2. ushbu

(1)
Koshi-Riman shartlarining bajarilishi zarur va etarli.
Misol.


Teorema isboti. Zarurligi.
funksiya  (D nuqtada hosilaga ega bo’lsin. Hosila ta’rifiga ko’ra

ya’ni

bo’ladi. Bu erda

bo’lib, esa va larga boglik va ular nolga intilganda nolga intiladi

.

Endi hamda larni

deb, (2) tenglikni quyidagiga yozamiz:

Bu tenglikdan, haqiqiy hamda mavhum qismlarini tenglab topamiz:

Demak, va funksiyalar nuqtada differensiallanuvchi. Ayni paytda funksiya nuqta da ma’noda differensiallanuvchi bo’ladi.
Modomiki, funksiya nuqta da hosilaga ega ekan, unda , jumladan
bo’lganda ham

nisbatning limiti har doim ga teng bo’laveradi.
(3) tengliklar bo’lganda
(4) bo’lganda esa
(5) tengliklarga keladi. (4) munosabatdan

(5) munosabatdan esa

bo’lishini topamiz. Bu tengliklardan

bo’lishi kelib chiqadi.
Etarliligi. Aytaylik funksiya nuqtada ma’noda differentsiallanuvchi bo’lib, teoremada keltirilgan ikkinchi shart bajarilsin. va funksiyalar nuqtada differentsiallanuvchi bo’lgani uchun

bo’ladi. Bu erda da larning har biri nolga intiladi. U holda

bo’ladi. Teoremani ikkinchi sharti

dan foydalanib topamiz:


Bu tenglikdan esa

bo’lishi kelib chiqadi.
Keyingi tenglikdagi

ifoda uchun

bo’ladi, chunki da ya’ni da

Shuni e’tiborga olib (6) tenglikda da limitga utib

bo’lishini topamiz. Demak., funksiya nuqta da hosilaga ega va

bo’ladi. Teorema isbot bo’ldi.
Eslatma. Yuqorida keltirilgan teorema funksiya hosilasining mavjudligini tasdiqlabgina qolmasdan, uni hisoblash yo’lini ko’rsatadi:

Misol. funksiya ixtiyoriy nuqtada hosilaga ega bo’ladimi?

bu funksiyalar nuqtada differensiallanuvchi.
Ikkinchi tomondan

bo’lib,

Demak, funksiya nuqtada hosilaga ega.
Faraz qilaylik, funksiya D, D(S nuqta da ma’noda differensiallanuvchi bo’lsin. Ushbu
ifoda funksiyaning nuqtadagi differensiallanuvchi deyiladi va kabi belgilanadi:

Ravshanki,

Shuni etiborga olib topamiz:

Demak,

Quyidagi
o’zgaruvchilarni olaylik. Ravshanki,

Bu tengliklardan

bo’lishini topamiz.
(7) va (8) tengliklardan

bo’lishi kelib chiqadi.
Agar


ko’rinishda belgilansa unda funksiya differesiyali uchun ushbu

tenglikka kelamiz.

Aytaylik, va funksiyalar biror nuqtada Koshi-Riman shartlarini bajarsin:

Unda (9) tenglikka ko’ra, shu nuqtada . Aksincha, funksiya uchun biror nuqtada
bo’lsin. Ravshanki (9) tenglikka ko’ra shu nuqtada

bo’ladi.
Demak, biror nuqta da Koshi-Riman shartlarining bajarilishi shu nuqta da tenglikning o’rinli bo’lishiga ekivalent ekan.
Agar funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lsa, shu nuqtada bo’lib, funksiyaning hosilasi differensiyali esa

ko’rinishda bo’ladi.
Kompleks analizda hosilaga ega bo’lgan funksiyalar C-differensiyallanuvchi funksiyalar deyiladi.
Faraz qilaylik, funksiya biror DS (S sohada berilgan bo’lsin.