I общие сведения о дифференциальных уравнениях 1 основные понятия и определения

I. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
1.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимые переменные, неизвестную функцию и её производные или дифференциалы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если неизвестная функция зависит от одной переменной, и уравнением в частных производных, если она зависит от нескольких переменных.
В настоящем курсе мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Порядок дифференциального уравнения определяется порядком старшей производной, входящей в это уравнение.
Дифференциальное уравнение n –го порядка может быть задано в виде
.
В первом случае оно называется уравнением, не разрешённым относительно старшей производной, а во втором уравнением, разрешённым относительно старшей производной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Решением дифференциального уравнения на некотором промежутке называется функция , которая определена на этом промежутке, имеет на нём n производных и, будучи подставленной в уравнение, обращает его в тождество.
Покажем например, что функция является решением уравнения
второго порядка Найдём производные функции

и подставим функцию и производные в уравнение:

Полученное тождество подтверждает, что функция является решением данного уравнения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Если функция является решением некоторого дифференциального уравнения, то график этой функции в декартовой системе координат называется интегральной кривой данного уравнения.

1.2 ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ

УРАВНЕНИЯМ
В качестве примера рассмотрим задачу на составление уравнения, описывающего процесс ценообразования товара. Пусть цена товара и скорость изменения цены ( тенденция ценообразования ) ; спрос на товар и предложение товара соответственно. На практике установлено, что спрос являются линейными функциями цены и тенденции ценообразования, т.е.


Коэффициенты определяются по результатам наблюдений ( метод определения коэффициентов здесь не рассматривается ).
Одним из объективных экономических законов товарного производства в условиях стабильной экономики является равенство спроса и предложения

Полученное равенство является дифференциальным уравнением для нахождения функции , описывающей зависимость цены товара от времени. Если перенести все члены равенства в левую часть, то уравнение примет вид

Если уравнение разрешить относительно производной :

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, содержащее независимую переменную, неизвестную функцию и её производную или дифференциал.
Дифференциальные уравнения первого порядка могут быть заданы различными способами.
1) Уравнение не разрешенное относительно производной:

2) Уравнение, разрешённое относительно производной:

3) Уравнение в дифференциалах:

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае имеет не одно, а множество решений, отличающихся друг от друга постоянными величинами. Покажем это на простом примере. Легко видеть, что решением уравнения является функция , где с произвольная постоянная, т.е. уравнение имеет множество решений.
Для того, чтобы из множества решений выделить конкретное ( частное ) решение, необходимо задать некоторые дополнительные условия.
В дальнейшем в качестве дополнительных условий будем рассматривать так называемые начальные условия: при функция должна принимать заданное значение Начальные условия обычно записываются в виде
Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.
Геометрическая интерпретация задачи Коши такова: найти интегральную кривую дифференциального уравнения, проходящую через заданную точку
ТЕОРЕМА 1 ( существования и единственности решения задачи Коши) Пусть функция и её частная производная определены и непрерывны в некоторой области, содержащей точку . Тогда существует единственное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям
Эти начальные условия называются допустимыми начальными условиями для заданного дифференциального уравнения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая следующим условиям:
1) Функция является решением жифференциального уравнения при любом фиксированном значении с.
2) Для любых допустимых начальных условий найдётся такое значение произвольной постоянной что функция как дифференциальному уравнению, так и начальным условиям.
ЗАМЕЧАНИЕ. Если решение дифференциального уравнения получено в неявном виде то оно называется общим интегралом этого уравнения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция , полученная из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной
Следовательно, решение задачи Коши является частным решением дифференциального уравнения.
Далее рассмотрим подробно некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Уравнение с разделяющимися переменными может быть задано одним из следующих способов.
1) Уравнение с разделёнными переменными
.
Запишем уравнение в виде:

Проинтегрировав равенство по переменным соответотвенно, найдём общий интеграл дифференциального уравнения

где первообразные функций :

2) Уравнение с разделяющимися переменными :
.
Для того, чтобы проинтегрировать данное дифференциальное уравнение, приведём его к уравнению с разделёнными переменными:

Интегрируя левую часть равенства по а правую по найдём общий интеграл уравнения:

Здесь первообразные функций

3) Уравнение с разделяющимися переменными в дифференциалах:

Чтобы найти общее решение данного уравнения , нужно также привести его к уравнению с разделёнными переменными. Запишем уравнение в виде:

Проинтегрировав полученное равенство, найдём общий интеграл заданного уравнения:
где

ПРИМЕР 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Это уравнение с разделяющимися переменными. Приведём его к уравнению с разделёнными переменными. Для этого перепишем уравнение в виде

Проинтегрировав полученное равенство, найдём общий интеграл уравнения

Разрешив последнее равенство относительно , получим общее решение дифференциального уравнения

Для того, чтобы найти значение произвольной постоянной , необходимо задать начальные условия. Пусть Подставим начальные условия в общее решение, получим:

Таким образом, частное решение имеет вид .

ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Приведём некоторые определения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Функция называется однородной функцией к-го порядка ( к-той степени ), если при умножении каждого аргумента на произвольное число функция умножается на , т.е. имеет место равенство
Например, функция является однородной функцией второго порядка. Покажем это.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Функция называется однородной функцией нулевой степени, или просто однородной, если имеет место равенство
Можно показать, что однородная функция нулевой степени зависит только от отношения аргументов, т.е .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Дифференциальное уравнение называется однородным, если однородная функция.
Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой где новая неизвестная функция.
Пусть дано однородное дифференциальное уравнение

Введём новую функцию
Если подставить полученные величины в заданное уравнение, то оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными: