I общие сведения о дифференциальных уравнениях 1 основные понятия и определения

Разделим переменные и проинтегрируем затем полученное равенство:

Вычислив неопределённые интегралы, найдём общий интеграл заданного уравнения

ПРИМЕР 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Проверим, что данное уравнение однородное. Для этого покажем, что функция в правой части уравнения зависит только от отношения аргументов

Таким образом, уравнение примет вид

Сделаем в уравнении подстановку

и приведём его к уравнению с разделяющимися переменными:

Проинтегрируем обе части последнего равенства:

Вычислив неопределённые интегралы, найдём общий интеграл заданного дифференциального уравнения:

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все её производные входят в уравнение в первой степени.
Линейное уравнение первого порядка может иметь следующий вид:
1) Неприведённое уравнение:

2) Приведённое уравнение

Неприведённое уравнение можно свести к приведённому, если обе части уравнения разделить на функцию . Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только приведённое уравнние.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Если правая часть линейного уравнения равна нулю, то уравнение называется однородным. В противном случае оно называется неоднородным.
Изложим два основных метода решения линейного уравнения первого порядка.
1) МЕТОД ЛАГРАНЖА ( метод вариации произвольной постоянной ).
Рассмотрим уравнение
.
. Сначала найдём общее решение однородного уравнения . Оно является уравнением с разделяющимися переменными. Используя изложенный ранее метод разделения переменных, получим

Отсюда найдём общий интеграл однородного уравнения
и соответственно общее решение однородного уравнения

Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде , где неизвестная функция. Чтобы найти , подставим выражение для в неоднородное уравнение:


Сократив в левой части уравнения второй и третий члены, получим

Отсюда найдём и общее решение неоднородного уравнения :


Легко проверить, что если задано начальное условие то решение задачи Коши для линейного уравнения можно записать в виде
.

2) МЕТОД БЕРНУЛЛИ.

Этот метод продемонстрируем на примере.
ПРИМЕР 3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения

Введём новые неизвестные функции

Тогда заданное уравнение примет вид


Выберем функцию таким образом, чтобы выполнялось условие

Очевидно, функция является решением однородного линейного уравнения, т.е. уравнения с разделяющимися переменными. Решим его.

Интегрируя, получим

Отметим, что при нахождении функции константа не вводится!
Подставим функцию в уравнение (2) и получим дифференциальное уравнение для функции , которое также является уравнением с разделяющимися переменными:

Отсюда следует, что
Следовательно, общее решение заданного уравнения (1) имеет вид:

УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Уравнением Бернулли называется уравнение вида:

Проинтегрировать уравнение Бернулли можно двумя способами: свести его к линейному уравнению или использовать метод Бернулли. На практике чаще применяется метод Бернулли. Продемонстрируем этот метод на конкретном примере.
ПРИМЕР 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

Очевидно, заданное уравнение является уравнением Бернулли.
Введём новые неизвестные функции

Тогда заданное уравнение примет вид


Выберем функцию таким образом, чтобы выполнялось условие

Функция является решением однородного линейного уравнения, т.е. уравнения с разделяющимися переменными. Решим его

Интегрируя, получим

Отметим, что при нахождении функции константа не вводится!
Подставим функцию в уравнение (2) и получим дифференциальное уравнение для функции , которое также является уравнением с разделяющимися переменными:

Решим полученное уравнение.

Интегрируя последнее равенство, найдём

Следовательно, общее решение заданного уравнения имеет вид: