I –Өзбетинше жумыс

.Anıq integraldın’ qollanıwları

1. Tegis figuranın’ maydanı
Meyli f x( ) funktsiya [a b, ] da u’zliksiz bolıp, " Îx [a b, ] ushın f x( ) ³ 0 bolsın.
Joqarıdan f x( ) funktsiya grafigi, qaptal ta’replerden x = a x, = b vertikal tuwrılar ha’mde to’mennen Ox ko’sheri menen shegaralang’an D figuranı qaraymız. (1-sızılma)

1-sızılma
Qaralıp atırg’an D figuranın’ maydanı
b
S = ò f x dx( ) (1)
a
formulası menen tabıladı.
Mısal.
x2 y2

2 + 2 =1 a b
ellips ha’m Ox Oy, ko’sherlerinin’ on’ bag’ıtları menen shegaralang’an bo’leginin’ maydanın tabın’.
Sheshiliwi. Mısalda aytılg’an figura 2- sızılmada su’wretlengen.

2-sızılma
Qaralıp atırg’an figuranın’ maydanı ellips maydanının’ bo’legi bolıp, ol

y = ^b a² - x² (0 £ x £ a) a
funktsiya grafigi ha’mde x = 0, x = a lar menen shegaralang’an figura.
(1) formula boyınsha

S = òb b a2 - x dx2 _a a
boladı. Endi integraldı esaplaymız:

b b é x = asint =x 0da =t 0 ù ò ba 2 2 ba òa 2 2 êêdx = a=cost =x ada ==t púú a - x dx a - x dx
^a ë 2 û
p p p
= ba ò20 2 2 2 ba 2ò02 2 ò20èæ 1 + 1 cos2t dtö÷ =
a - a sin t a× costdt =a cos tdt =ab ç 2 2 ø
p

= 1 ab×^p+ 1 ab× sin2t 2 =pab.
2 2 2 2 ₀ 4
Demek,
pab
S = .
4
Meyli f₁(x) ha’m f₂(x) funktsiyalar [a b, ] da u’zliksiz bolıp, " Îx [a b, ] da
f₂(x) ³ f x( )₁ ³ 0
bolsın.
Tegislikte joqarıdan f₂(^x) funktsiya grafigi, to’mennen f₁(^x) funktsiya grafigi, qaptal ta’replerden x = a x, = b vertikal tuwrılar menen shegaralang’an D figuranı qarayıq

Bul figuranın’ maydanı S joqarıdag’ıg’a uqsas anıqlanıp
b b
S₁ = ò f₁ ( )x dx, S₂ = ò f₂ ( )x dx

1. 
   a
   

Maydanlar arqalı to’mendegi

2. 
   b b
   

S = ò f₂ ( )x dx- ò f₁ ( )x dx= òé_ë f₂ ( )x - f₁ ( )x ù_ûdx (2)
a a a
formula menen tabıladı.
Mısal. y = x² +1 iymegi ha’m x + y = 3 tuwrısı menen shegaralang’an figuranın’ maydanın tabın’.
Sheshiliwi. y = x² +1 parabola ha’m x + y = 3 tuwrıları menen
shegaralang’an figura 3-sızılmada su’wretlengen

3-sızılma
Parabola ha’m tuwrını ten’lemelerini sistema qılıp,
ìy = x² +1, í
î x + y =3
son’ onı sheship, x₁ = -2, x₂ =1 bolıwın tabamız. Endi
a = -2,=b =1, f₁(x) x² +1,=f₂(x) 3 - x
dep, (2) formuladan paydalanıp, izlenip atırg’an figuranan’ maydanı S ti tabamız:

S = _ò¹2 _ëé(3- x)-(x² +1)_ûùdx =_ò¹2(2- x - x² )dx =_èç^æ2x - ^x₂² - ^x₃^{3 ÷}_ø^{ö 1}-2 =
- -
= 2 - ¹2 - ¹3 - - -^æçè 4 ⁴2 + ⁸3 ø^ö÷= 4 ¹2.
2. Dog’anın’ uzınlıg’ı
Meyli f x( ) funktsiya [a b, ] segmentte u’zliksiz bolıp, onın’ grafigi tegislikte AB( dog’anı su’wretlesin

5-sızılma
AB( dog’asının’ uzınlıg’ı
b
l = ò 1+ f ¢² ( )x dx. (3)
a
formulası menen esaplanadı.
Mısal. To’mendegi funktsiya grafigin an’latıwshı dog’anın’ uzınlıg’ın tabın’:
f x( ) = x (0 £ x £ 4).
Sheshiliwi. a = 0, b = 4,

f ¢2 ( )x = =çèæ x32 ÷ö¢2 9₄ ¢2 ( )x 1+ ₄9 x x, 1+ =f
ø
bolıwın esapqa alıp, (3) formuladan paydalanib topamiz:
l = ^ò40 1+ ⁹4 xdx =^éêë1+ ⁹4 x t x,= 0 da=t 1, x= 4 da t= 10, dx= 9⁴dt^ùúû =
=10ò₁ 94t dt12 9 34 2=× t32 10₁ 278 =(10 10 -1 .) >
Meyli funktsiya to’mendegishe

24. 
    =j(t),
    
25. 
    _=y( )_t (4)
    

parametrlik ko’riniste anıqlang’an bolsın ha’m [ab, ] da u’zliksiz, u’zliksiz tuwındılarg’a iye bolsın. (4) sistema menen berilgen AB( dog’asının’ uzınlıg’ı
b

l ⁼ ò j¢² ( )t +y¢² ( )t dt (5)
a
integralı ja’rdeminde tabıladı.
Mısal.
j(t) = a t( - sint),
y( )t = a(1- cost₎ (^{0 £ £t p})
ten’lemeler sisteması menen anıqlang’an dog’anın’ (sikloidanın’) uzunlıg’ın tabın’.
Sheshiliwi. j¢(t) = a(1-cost),
y¢(t) = asint
bolıp,
j y¢²( )t + ¢²( )t = a²(1- cost)² + a² sin² =t a 2 1( - cost)
boladı. Endi a b p= 0, = 2 dep,
(5) formuladan paydalanıp, iymek sızıqtın’ uzunlıg’ın tabamız:
b2p2p
l =aò j¢² ( )t +y¢² ( )t dt= ^ò0 a 2 1( - cost dt) =a ^ò0 4×sin² ₂^t dt =
2p 2p
= 2a ^ò0 sin 2^t ×d ^æçè 2^{t ö}÷ø× =2 - =4acos 2^t 0 -4a(cosp- =cos0) 8 .a
3. Aylanıw denesinin’ ko’lemi
Meyli f x( ) funktsiya [a b, ] da u’zliksiz bolıp, onda f x( ) ³ 0 bolsın. Joqarıdan f x( ) funktsiya grafigi, qaptal ta’replerden x = a x, = b vertikal tuwrıları ha’mde to’mennen Ox ko’sheri menen shegaralang’an tegis figuranı Ox ko’sheri do’gereginde aylantırıwdan aylanıw denesi payda boladı.
Ma’selen, to’mendegi sızılmada su’wretlenegen figuranı Ox ko’sheri do’gereginde aylantırıwdan to’mendegi aylanıw denesi payda boladı:

6-sızılma
Aylanıw denesinin’ ko’lemi
b
V =^pò f ² ( )x dx (6)
a
formulası menen tabıladı.
Mısal. Radiusı r ge ten’ bolg’an shar ko’lemin tabın’. Sheshiliwi. Bul shardı
f x( ) = r² - x² , - r £ x £ r
yarım do’n’gelektin’ Ox ko’sheri do’gereginde aylandırıwdan payda bolg’an dene dep qaraw mu’mkin.
(6) formuladan paydalanıp toabamız:

V =p-òrr (r2 - x2 )dx= pæçèr x2 - x33 ö÷ø r-r= péëêæèçr3 - r33 ö÷ø - -æèç r3 + r33 ö÷øùûú = 34pr3.
4. Aylanıw bettin’ maydanı
Joqarıdag’ıday [a b, ] da u’zliksiz f x( ) funktsiya ( f x( ) ³ 0) grafigi AB⁽
dog’anı Ox ko’sheri do’gereginde aylandırıwdan payda bolg’an betti qarayıq. Bul aylanıw betinin’ maydanı
b

S = 2^pò f x( ) 1+ f ¢² ( )x dx (7)
a
boladı.
Mısal. Radiusı r ge ten’ bolg’an shar betinin’ maydanın tabın’.
Sheshiliwi. Bul betti
f x( ) = r² - x² (-r £ x £ r)
yarım shen’berdi Ox ko’sheri a’tirapında aylanıwdan payda bolg’an bet dep qaraw mu’mkin.
(7) formuladan paydalanıp tabamız:

Menshiksiz integrallar

Funktsiyanın’ anıq integralın u’yreniwde integrallaw aralıg’ı [a b, ] nın’ shekliligi h’a’mde f x( ) funktsiyanın’ u’zliksiz bolıwı talap etildi. Ayırım jag’daylarda bul eki talaplardan biri yamasa ekewide orınlanbay qalıwı mu’mkin.
1.Sheksiz aralıq boyınsha integral
Meyli f x( ) funktsiya [a,+¥) aralıqta u’zliksiz bolsın.
Onda
A
ò f x dx( ) (a < A < +¥)
a
integral bar bolıp, onın’ ma’nisi A g’a baylanıslı boladı. Mına
A
Alim®+¥ò ^{f x dx}( ) (1)
a
limit f x( ) funktsiyanın’ [a,+¥) aralıq boyınsha menshiksiz integralı delinedi h’a’m
+¥
ò f x dx( )
a
(2)
ko’rinisinde belgilenedi:
+¥ A ò f x dx( ) = Alim®+¥ò f x dx( ) .
a a +¥
1
Mısallar 1. ò x2 dx integralın tabın’.
₁
Sheshiliwi. f x( ) ⁼ x¹₂ funktsiya [1,+¥) da u’zliksiz h’a’m

A 1 A x- +2 1 A 1A 1 ò1 ² dx = = =òx dx-2 - +2 1₁ - =x ₁ 1- A x ₁
boladı. A®+¥ da limitke o‘tip tabamız:
A
Alim®+¥^ò1 12 dx = Alim 1®+¥^æçè - ¹A^ö÷ø =1.
x
Demek, +¥
1
ò 2 dx =1. x
₁ +¥

2. 
   ò x dx³ integraldı tabın’.
   

0
Sheshiliwi. Menshiksiz integral tu’siniginen paydalanıp tabamız:
x
+ò¥x dx³ ====lim òA x dx³ lim 4 A 1 4 +¥.
lim A
A®+¥ A®+¥ ⁴ A®+¥ 4
_{0 00}
+¥

2. 
   ò cosxdx tabın’.
   

0
Sheshiliwi. Bul f x( ) = cosx funktsiyanın’ [0,+¥) aralıq boyınsha
menshiksiz integralı bar bolmaydı, sebebi
A
Alim®+¥òcosxdx ⁼ lim sin x ₀^{A =} Alim sin_®+¥ A

A®+¥

0
limiti bar bolmaydı.
Eger (1) limit bar bolıb, ol shekli bolsa, (2) menshiksiz integral jıynaqlı delinedi.
Ma’selen,
+¥
dx
ò x2
₁
menshiksiz integral jıynaqlı boladı.
Eger (1) limit sheksiz yamasa bar bolmasa, (2) menshiksiz integral taralıwshı delinedi,
+¥ +¥
ò x dx³ , ò cosxdx
0 0
menshiksiz integrallar taralıwshı boladı.

+¥ ò dx (a > 0,a> ⁰) menshiksiz integraldı jıynaqlılıqqa tekserin’.
Mısal. xa
_a
Sheshiliwi. Menshiksiz integral tu’sinigi boyınsha

x^aA®+¥ x^aA®+¥ A®+¥ -a+1 a a a boladı. Eger a>1 bolsa	a A®+¥è Aa-1 aa-1 ø
æ 1 1 ö lim ç Aa-1 - =aa-1 ÷ø A®+¥è bolıp, +¥ dx ^òa xa menshiksiz integral jıynaqlı boladı. Eger 0 <	- a1-1 a
lim ç a-1 -= a1-1 ö÷ æ 1	+¥

+ò¥ dx = lim òA = lim òA x - +a 1A 1 1 ö (a¹1)
dx -adx= lim x =lim æç - ÷
A®+¥è A a ø
bolıp, +¥

dx ^ò xa
a
menshiksiz integral taralıwshı boladı.
Eger a=1 bolsa
A
lim dx ⁼⁼lim ln x^A lim ln( A -=lna) +¥
A®+¥ò xa A®+¥(_a) A®+¥
_a
bolıp, qaralıp atırg’an menshiksiz integral taralıwshı boladı.
Demek,
+¥

^òa ^dx_xa (a > 0,a> 0)
menshiksiz integral a>1 bolg’anda jıynaqlı, a£1 bolg’anda taralıwshı.
Meyli f x( ) funktsiya [a,+¥) da u’zliksiz bolıwınan basqa " Îx [a,+¥) da f x( ) > 0 bolsın. Onda
A
ò f x dx( )
a
(ol alıng’an A g’a baylanıslı a < <+A ¥) A nın’ funktsiyası sıpatında o‘siwshi boladı.
Bunday jag’dayda qa’legen A (A > a) ushın
A
ò f x dx( ) £ L (L – turaqlı san)
a
ten’sizlik orınlansa, +¥
ò f x dx( )
a
menshiksiz integral jıynaqlı boladı.
+¥ ò f x dx( ) menshiksiz integral jıynaqlı bolıp, f x( ) funktsiya da’slepki
a
F x( ) funktsiyasına iye bolsın (F¢(x) = f x( )).
Onda
+¥ A
ò f x dx( ) = Alim®+¥ò f x dx( )= Alim®+¥(F A( ) - F a( )⁾ Alim®+¥= F A( )- F a( )
a a
boladı. Eger lim F A( ) = F(+¥)
A®+¥
delinse, keyingi ten’likten
+¥ ò f x dx( ) = F(+¥) - F a( ) = F x( ) ⁺_a^¥ (3)
a
bolıwı kelip shıg’adı.
+¥
Mısal. ^ò0 _{1 +}^dx_x2 integralı esaplansın.
Sheshiliwi. Integral astındag’ı
f x( ) =
funktsiya ushın
F x( ) = arctgx
da’slepki funktsiya boladı. (3) formuladan paydalanıp tabamız:
+¥ ò dx 2 = arctg= x 0+¥ arctg(+¥)- arctg0= p-0 = p.
₀ 1+ x2 2
2.Shegaralanbag’an funktsiyanın’ menshiksiz integralı
Meyli f x( ) funktsiya b noqatının’ (b -de, ) do’gereginde (e> 0) shegaralanbag’an bolsın.

Bul funktsiya [a b, -e] da u’zliksiz h’a’m
b-e
ò f x dx( )
a
integral e g’a baylanıslı boladı. Mına
b-e
lime®0 ò f x dx( )
a
limit shegeralanbag’an f x( ) funktsiyanın’ menshiksiz integralı delinedi h’a’m to’mendegishe
òb f x dx( )
a
belgilenedi:
b b-e òa f x dx( ) = lime®0 òa f x dx( ) .
¹ dx
Mısallar. 1. ò integralı tabılsın.
0 1- x
Sheshiliwi. Integral astındag’ı

f x( ) = ¹ 1- x
funktsiya [0,1-e] da (e> 0) u’zliksiz h’a’m
1-e
1-òe ^dx = -1-òe(1- x)^-12 d(1- =x) - =(1- ^x)^{- +1}2 1 -_{2 1}( - =_x)121-e
0 1- x ₀ - +10
0

= -2_ç(1-(1-e))2¹ -(1-0)=¹₂ ^ö_÷ -2^æç_e¹² -1^ö÷= 2 - 2 e ^æ
è ø è ø
boladı. e® 0 da limitke o‘tip tabamız:
1-e

lim0 ò dx = lim 20 ( - 2 ^e) = 2. e® ₀ 1- x e®
Demek,

1^dx
ò = 2.
0 1- x