Идз по «Теории вероятностей и математической статистике»

ИДЗ по « Теории вероятностей и математической статистике» - (оценивается в 50 баллов).

1. 
   В группе из 30 учеников на контрольной работе 6 учеников получили оценку «отлично», 10 учеников «хорошо», 9 учеников «удовлетворительно». Какова вероятность того, что все три вызванных к доске ученика, имеют не­удовлетворительные оценки по контрольной работе?
   

P = (9/30) x (8/29) x (7/28) = 0.0154 (округляем до четырех знаков после запятой)
Таким образом, вероятность того, что все три вызванных к доске ученика, имеют неудовлетворительные оценки по контрольной работе, составляет примерно 0.0154 или 1.54%.

2.1. Отдел технического контроля проверяет изделие на стандартность.Вероятность того, что изделие стандартное, равно 0.9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

P(одно стандартное) = P(стандартное на первом месте) x P(нестандартное на втором месте) + P(нестандартное на первом месте) x P(стандартное на втором месте)

P(стандартное на первом месте) = P = 0.9
P(нестандартное на втором месте) = q = 1 - 0.9 = 0.1
P(нестандартное на первом месте) = q = 0.1
P(стандартное на втором месте) = P = 0.9
Подставляя значения в формулу, мы получаем:
P(одно стандартное) = 0.9 x 0.1 + 0.1 x 0.9 = 0.18
Таким образом, вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное, составляет 0.18 или 18%.
3.1. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора; б) включены все моторы; в) выключены все моторы.

Пусть P - вероятность того, что мотор включен, и q = 1-P - вероятность того, что мотор выключен. Тогда, вероятность того, что включено k моторов из n, можно выразить как:

P(k) = C(n,k) x P^k x q^(n-k)
где C(n,k) - число сочетаний из n по k, то есть количество возможных комбинаций из n моторов, включенных k раз.
a) Включено 4 мотора:
P(4) = C(6,4) x 0.8^4 x 0.2^2 = 0.24576
Таким образом, вероятность того, что в данный момент включено ровно 4 мотора, составляет 0.24576 или примерно 24.6%.
б) Включены все моторы:
P(6) = C(6,6) x 0.8^6 x 0.2^0 = 0.262144
Таким образом, вероятность того, что в данный момент включены все 6 моторов, составляет 0.262144 или примерно 26.2%.
в) Выключены все моторы:
P(0) = C(6,0) x 0.8^0 x 0.2^6 = 0.000064
Таким образом, вероятность того, что в данный момент выключены все 6 моторов, составляет 0.000064 или примерно 0.0064%.

4.1. Случайная величина задана законом распределения:

	-2	-1	0	1	2
	0.1	0.2	0.2	0.4	0.1

Построить многоугольник распределения.

|
0.4 | *
| *
0.3 | *
| *
0.2 | *
| *
0.1 | *
|_____________________________
-2 -1 0 1 2


5.1. Случайная величина – число выпавших очков при одном бросании игральной кости. Найти .

E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5

Также можно вычислить дисперсию и стандартное отклонение этой случайной величины:
D(X) = ((1 - 3.5)^2 + (2 - 3.5)^2 + (3 - 3.5)^2 + (4 - 3.5)^2 + (5 - 3.5)^2 + (6 - 3.5)^2) / 6 = 2.92
σ(X) = √D(X) = √2.92 ≈ 1.71
Здесь D(X) - дисперсия случайной величины X, σ(X) - стандартное отклонение случайной величины X.
Начало формы


6.1. Составить закон распределения случайной величины - числа вы­падений герба при двукратном подбрасывании монеты.

Пусть случайная величина X - число выпадений герба при двукратном подбрасывании монеты. Тогда мы можем составить следующую таблицу: