Ii bob : Ko'p o'lchovli regressiya. 1 Regressiya tenglamasi

Shartli о‘rtacha qiymat  deb, Y tasodifiy miqdorning X=x qiymatiga mos qiymatlarining arifmetik о‘rtacha qiymatiga aytiladi.
Masalan, X miqdorning x₁=2 qiymatiga Y miqdorning y₁=3, y₂=5, y₃=6, y₄=10 qiymatlari mos kelsin. U holda, shartli о‘rtacha qiymat
ga teng.
Y ning X ga nisbatan korrelyatsion bog‘liqligi deb,  _x shartli о‘rtacha qiymatning
x ga funksional bog‘liqligiga aytiladi:
(15.1)
X ning Y ga nisbatan korrelyatsion bog‘liqligi ham yuqoridagi kabi ta’riflanadi:
(15.2)
(15.1) va (15.2) tengliklar mos ravishda Y ning X ga va X ning Y ga nisbatan regressiya tenglamasi deyiladi.
f(x) va  funksiyalar- regressiya funksiyalari, ularning grafiklari esa regressiya chizig‘i deyiladi.
Korrelyatsion nazariyasining asosiy masalalaridan biri korrelyatsion bog‘lanish shaklini aniqlash, ya’ni uning regressiya funksiyasi kо‘rinishini (chiziqli, kvadratik, kо‘rsatkichli va hokozo) topishdan iborat. Regressiya funksiyalari kо‘p hollarda chiziqli bо‘ladi. Ikkinchi masala korrelyatsion bog‘lanishning zichligi (kuchi)ni aniqlash.
Y ning X ga nisbatan korrelyatsion bog‘liqligi zichligi Y ning qiymatlarini  _x shartli о‘rtacha qiymat atrofida tarqoqligining kattaligi bо‘yicha baholanadi: kо‘p tarqoqlik Y ning X ga kuchsiz bog‘liqligidan yoki bog‘liqlik yо‘qligidan darak beradi; kam tarqoqlik ancha kuchli bog‘liqlik borligini kо‘rsatadi. X ning Y ga nisbatan korrelyatsion bog‘liqligining zichligi ham shu kabi baholanadi.

Y va X son belgilar chiziqli korrelyatsion boglangan bо‘lsin. Eng sodda holni qaraymiz. X belgining turli x qiymatlari va Y belgining ularga mos  qiymatlari bir martadan kuzatilgan bо‘lsin:

xi	x1	x2	…	xn
yi	y1	y2	…	yn

Bu qiymatlar bir martadan kuzatilganligi uchun shartli о‘rtacha qiymatdan foydalanishga ehtiyoj yо‘q. Regressiya tenglamasini
 _(15.3)
ko’rinishda izlaymiz, bu yerda,  _{- Y ning X ga} nisbatan regressiya koeffitsiyenti deyiladi<sub>.



 va   parametrlarni shunday tanlash keraki kuzatish ma’lumotlari bо‘yicha XOY tekisligida yasalgan</sub>
, ( ), .... ( )
nuqtalar (15.3) tо‘g‘ri chiziq yaqinida yotsin.Shu maqsadda eng kichik kvadratlar usulidan foydalanib, quyidagi funksiyaning minimumini topamiz:

bu yerda  - (15.3) tenglama bо‘yicha   qiymatga mos ordinata;   esa   ga mos kuzatilayotgan ordinata;  _.
Xususiy hosilalarni nolga tenglashtiramiz:

yoki
 _(15.4)
Bu sistemani yechib, izlanayotgan parametrlarni topamiz.
 (15.5)

Eslatma.Xning Yga nisbatan regressiya tо‘g‘ri chizig‘ining  tenglamasini shunga о‘xshash topish mumkin, bu yerda  X ning Y ga regressiya koeffitsiyenti.
1-misol. Semestr yakunida yakuniy nazoratdan avval guruh talabalaridan 12 tasi orasida sо‘rov о‘tkazildi. Sо‘rovdan maqsad talabalar semestrni qanday ballarda о‘zlashtirishlarini aniqlash (5 balli bahoda). Kutilgan ballar va yakuniy baholashdan keyingi natijalar quyidagi jadvalda keltirilgan.

Kutilgan ballar	3,2	3,0	3,10	2,8	3,4	3,8	4,0	3,7	2,9	4,5	4,6	4,2
Olingan ballar	4,0	3,8	3,5	3,0	4,4	4,2	4,6	4,5	3,1	4,1	4,8	4,0

Berilgan ma’lumotlar bо‘yicha chiziqli regressiya tenglamasini tuzing.