Ii bob aniq integral chiziqlilik hamda additivlik xossalari

I bob. Integral

1. 
   Integral tushunchasi.
   

Integral hisob — integrallar va veb-sayt xossalarini, tuzatish usullarini, tatbiq etuvchi oʻrganuvchi matematika boʻlimi. I. h. taraqqiyoti va mazmuni differensial hisob taraqqiyoti va mazmuni bilan uzviy bogʻliq. I. h. differensial hisob bilan birga cheksiz kichik miqdorlar tahlilini (qarang Matematik analiz) tashkil qiladi. 17-asrga kelib, texnika va tabiiy fanlarning taraqqiyoti matematika oldiga juda koʻp yangi masalalarni, murakkab geometrik shakldagi jismlarning yuzini, hajmini, ogʻirlik markazini muammolarini qoʻydi. Bularni yangining zamonaviy usullari oʻrniga yangi va kuchli matematik usullar zaruriyati tugʻildi. Shu davrda I. h. vujudga keddi. I. h.ning qarashlari aniq va aniqmas integral belgilaridir. I. h.ning turli tatbiqlarida bu anikmas integrallarga mos aniq integrallarning ahamiyati katta bo'lgani uchun ular yaxshi o'rganilgan va qiymatlari hisoblangan jadvallar.²
Integral ishtiroki bir necha xaqiqiy oʻzgaruvchining funksiyalari uchun ham, kompleks oʻzgaruvchining funksiyalari uchun ham aniqlangan va xossalari yaxshi oʻrganilgan.
Integral va uning amaliy qo’llanilishi
I. Fizika fanidan.
Majburiy ish (A=FScosa, cosa¹ 1)
Agar zarrachaga F kuch ta'sir etsa, kinetik energiya doimiy bo'lib qolmaydi. Bu holda, ko'ra
zarracha kinetik energiyasining dt vaqtdagi ortishi skalyar ko'paytma Fds ga teng, bu erda ds - zarrachaning dt vaqtdagi siljishi. Qiymat
F kuchi bajargan ish deyiladi.
OX o'qiga proyeksiyasi f(x) funktsiya (f uzluksiz funksiya) bo'lgan kuch ta'sirida nuqta OX o'qi bo'ylab harakatlansin. Kuch taʼsirida nuqta S1(a) nuqtadan S2(b) ga oʻtdi. Segmentni bir xil uzunlikdagi Dx = (b - a)/n n ta segmentga ajratamiz. Kuchning ishi hosil bo'lgan segmentlardagi kuchning ishining yig'indisiga teng bo'ladi. Chunki f(x) uzluksiz, u holda kichik uchun bu segmentdagi kuchning ishi f(a)(x1–a) ga teng. Xuddi shunday, ikkinchi segmentda f(x1)(x2–x1), n-segmentda - f(xn–1)(b–xn–1). Shunday qilib, ish quyidagilarga teng:
A »An = f(a)Dx +f(x1)Dx+...+f(xn–1)Dx=
= ((b–a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f(xn–1))
Taxminan tenglik n®¥ uchun aniq tenglikka aylanadi
A = lim [(b–a)/n] (f(a)+...+f(xn–1))= òf(x)dx (ta’rifi bo‘yicha)
Qattiqligi C va uzunligi l bo'lgan prujina uning yarmiga siqilsin. Potensial energiyaning qiymatini aniqlang Ep kuch bilan bajarilgan ish A ga teng -F (s) prujinaning siqilgandagi elastikligi, keyin
Ep = A= – ò (–F(s)) dx
Mexanika kursidan ma'lumki, F(s)= –Cs.
Bu erdan topamiz
En= – ò (–Cs)ds = CS2/2 | = C/2 l2/4
Javob: Cl2/8.
Massa koordinatalari markazi
Massa markazi - bu tananing har qanday fazoviy joylashuvi uchun tortishish natijasi o'tadigan nuqta.
Moddiy bir hil plastinka o qiyshiq chiziqli trapetsiya shakliga ega bo'lsin (x; y |a £ x £ b; 0 £ y £ f (x)) va y \u003d f (x) funktsiyasi uzluksiz bo'lsin , va maydoni. bu egri chiziqli trapezoidning S ga teng, u holda markazning koordinatalari Plitalar massasi o formulalar bo'yicha topiladi:
x0 = (1/S) ò x f(x) dx; y0 = (1/2S) ò f 2(x) dx;
Mass markazi.
Radiusi R boʻlgan bir jinsli yarim doira massa markazini toping.
OXY koordinata tizimida yarim doira chizing.
y = (1/2S) òÖ(R2–x2)dx = (1/pR2) òÖ(R2–x2)dx =
= (1/pR2)(R2x–x3/3)|= 4R/3p
Javob: M(0; 4R/3p)
Moddiy nuqta bosib o'tgan yo'l
Agar moddiy nuqta u=u(t) tezlik bilan to‘g‘ri chiziqli harakat qilsa va T= t2–t1 (t2>t1) vaqt davomida S yo‘ldan o‘tgan bo‘lsa, u holda
Geometriyada
Hajm - fazoviy jismning miqdoriy xarakteristikasi. Hajm birligi sifatida cheti 1 mm (1di, 1m va boshqalar) bo'lgan kub olinadi.
Berilgan tanaga joylashtirilgan hajm birligining kublari soni tananing hajmidir.
Hajmi aksiomalari:
Hajmi - bu salbiy bo'lmagan qiymat.
Jismning hajmi uni tashkil etuvchi jismlar hajmlarining yig'indisiga teng.
Keling, hajmni hisoblash formulasini topamiz:
OX ga nisbatan tananing joylashuvi chegaralarini aniqlash;
Quyidagi moslikni aniqlaydigan S(x) yordamchi funksiyasini kiritamiz: segmentdan har bir x ga OX o'qiga perpendikulyar x nuqtadan o'tuvchi tekislik orqali berilgan rasmning kesim maydonini moslashtiramiz.
segmentni n ta teng qismga ajratamiz va bo'linishning har bir nuqtasi orqali OX o'qiga perpendikulyar tekislik o'tkazamiz, bunda tanamiz qismlarga bo'linadi. Aksiomaga ko'ra
V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx
Dx®0, va Sk®Sk+1 va ikkita qo'shni tekislik orasiga o'ralgan qismning hajmi Vts=SonH silindr hajmiga teng.
Bizda bo'linish bosqichi bo'yicha bo'linish nuqtalarida funktsiya qiymatlari mahsuloti yig'indisi bor, ya'ni. integral miqdori. Aniq integralning ta'rifiga ko'ra, bu yig'indining n®¥ ko'rinishidagi chegarasi a integral deb ataladi.
V= òS(x)dx, bu erda S(x) - tekislikning o'tadigan qismi
b OX o'qiga perpendikulyar tanlangan nuqta.
Ovozni topish uchun sizga kerak bo'ladi:
biri). OX o'qini qulay usulda tanlang.
2). Ushbu jismning o'qga nisbatan joylashuvi chegaralarini aniqlang.
3). Berilgan jismning OX o‘qiga perpendikulyar va mos nuqtadan o‘tuvchi tekislik kesimini tuzing.
4). Berilgan qismning maydonini ifodalovchi funktsiyani ma'lum miqdorlar bilan ifodalang.
5). Integral hosil qiling.
6). Integralni hisoblab bo'lgach, hajmni toping.
Aylanish figuralarining hajmi
Yassi figuraning qandaydir o'q atrofida aylanishi natijasida olingan jismga aylanish figurasi deyiladi.
Aylanish figurasining S(x) funksiyasi aylanaga ega.
Ssec(x)=p f 2(x)
Yassi egri chiziqning yoy uzunligi
Segmentdagi y = f(x) funksiya uzluksiz hosila y’ = f ’(x) bo‘lsin. Bunda y = f(x), xn funksiya grafigining “bo‘lagi”ning yoy uzunligi l ni formula bo‘yicha topish mumkin. Integral va uning inson hayotida qo'llanilishi. Maqsad: inson faoliyatida integralni o'rganish va qo'llash. Vazifalar: integral nima ekanligini aniqlang; integral qo'llaniladigan inson faoliyatining barcha sohalarini aniqlang; integral inson hayotida qanday qiymatga ega ekanligini aniqlang. Integralni yaratgan olim.Knidlik Evdoks. Piramida hajmi teoremasining to'liq isbotini keltirdi; ikki doiraning maydonlari ularning radiuslarining kvadratlari sifatida bog'langan teoremalar. Isbotlashda u ularning radiuslarini "chayqash" deb ataladigan usuldan foydalangan. Ikki ming yil o'tgach, "charchash" usuli integratsiya usuliga aylantirildi. Integral nima? Integral (lot.Integer — butun soʻzidan) — integral funksiya differensialining oʻzaro nisbati. Ko'pgina fizik va boshqa masalalar murakkab differensial yoki integral tenglamalarni echishga qisqartiriladi. Buning uchun siz differentsial va integral hisob nima ekanligini bilishingiz kerak.𝑓𝑥𝑑𝑥  belgisini Gotfrid Leybnits (1675) kiritgan. Bu belgi lotincha S harfining (summa so'zining birinchi harfi) o'zgarishidir. Integral so'zini Yakob Bernulli (1690) kiritgan. Bu lotincha integrodan olingan bo'lib, qayta tiklash degan ma'noni anglatadi. I. Bernoulli G. Leybnits Integralning qo'llanilishi. Geometriyada. Yassi figuraning maydoni. Ta’rif: uzluksiz, doimiy ishorali funksiya 𝑓(𝑥), abscissa o‘qi va 𝑥=𝑎, 𝑥=𝑏 to‘g‘ri chiziqlar grafigi bilan chegaralangan figura deyiladi. egri chiziqli trapezoid.Teorema. Agar 𝑓(𝑥) [𝑎;𝑏] segmentida uzluksiz va manfiy boʻlmagan funksiya boʻlsa, unda mos keladigan egri chiziqli trapetsiyaning maydoni ushbu segmentdagi maʼlum integralga teng boʻladi.Yassi aylanish natijasi. bir oʻq atrofidagi shakl aylanish figurasi deyiladi.Aylanish figurasining 𝑆(𝑥)𝑓(𝑥) funksiyasi aylana.Fizikada.Masalar markazining koordinatalari.Masalar markazi bu nuqtadan oʻtgan nuqtadir. Bu tortishish natijasi tananing har qanday fazoviy joylashuvi uchun o'tadi. Moddiy bir jinsli plastinka egri chiziqli trapetsiya shakliga ega bo'lsin 𝑥;𝑦 𝑎≤𝑥≤𝑏; 0≤𝑦≤𝑓(𝑥)) va 𝑦=𝑓(𝑥) funksiyasi [𝑎;𝑏] da uzluksiz va bu egri chiziqli trapetsiyaning maydoni 𝑆 ga teng, keyin massa markazining koordinatalari. o plastinka quyidagi formulalar orqali topiladi: 𝑥0 = 1𝑆 𝑎𝑏𝑥 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥; 𝑦0 = 12𝑆 𝑎𝑏𝑓 2(𝑥) 𝑑𝑥; Kuchning ishi 𝐴=𝐹𝑆𝑐𝑜𝑠, 𝑐𝑜𝑠 1. Agar zarraga 𝐹 kuch taʼsir etsa, kinetik energiya doimiy boʻlib qolmaydi. Bunda 𝑑(𝑚2/2) = 𝐹𝑑𝑠 ga koʻra, zarrachaning dt vaqt boʻyicha kinetik energiyasining ortishi skalyar koʻpaytmaga 𝐹𝑑𝑠 teng boʻladi, bunda 𝑑𝑠 zarrachaning vaqt boʻyicha𝑑𝑝 harakati. 𝑑𝐴=𝐹𝑑𝑠 qiymati F.A = 𝑎𝑏𝑓𝑥𝑑𝑥 Moddiy nuqta bosib oʻtgan yoʻl =𝑡1𝑡2𝑣(𝑡)𝑡. Iqtisodiyotda Mikroiqtisodiyotda ko'pincha marjinal qiymatlar deb ataladigan narsalar ko'rib chiqiladi, ya'ni. qandaydir funksiya 𝑦 =𝑓(𝑥) bilan ifodalangan berilgan miqdor uchun uning hosilasini 𝑓′(𝑥) deb hisoblang. Masalan, S tannarx funksiyasi ishlab chiqarilgan mahsulotning q hajmiga qarab berilgan bo'lsa 𝐶= 𝐶(𝑞), u holda marjinal xarajat ushbu funktsiyaning MC=S'(q) hosilasi bilan beriladi. Uning iqtisodiy ma'nosi - qo'shimcha mahsulot birligini ishlab chiqarish xarajatlari. Shuning uchun ko'pincha berilgan marjinal xarajatlar funktsiyasidan xarajat funktsiyasini topish kerak bo'ladi. Biologiyada o'rtacha oraliq uzunligi Bizni o'rtacha oraliq uzunligi qiziqtiradi. Doira har qanday diametrga nisbatan nosimmetrik bo'lganligi sababli, biz faqat Y o'qiga parallel ravishda har qanday yo'nalishda uchadigan qushlar bilan cheklanishimiz kerak. Keyin o'rtacha oraliq uzunligi ASV va 𝐴𝐶1𝐵 yoylari orasidagi o'rtacha masofadir. Boshqacha qilib aytganda, bu funktsiyaning o'rtacha qiymatidir, u erda 𝑦1-𝑓𝑓𝑥𝑥𝑥𝑥 - bu yuqori y𝑦gning tenglamasi, shunda pastki y𝑓g tengatsiyasi, shuning uchun 𝐿1𝑥𝑑𝑥-𝑎𝑎 kabi maydoniga teng egri chiziqli trapesiya aACBb, 𝑎𝑏𝑓2𝑥𝑑𝑥 egri chiziqli trapetsiya aA𝐶1Vb maydoniga teng, keyin ularning farqi aylananing maydoniga teng, ya'ni 𝜋𝑅2. 𝑏−a farqi 2R ga teng. Buni 𝐿=𝑎𝑏𝑓1𝑥−𝑓2𝑥𝑑𝑥𝑏−𝑎 ga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz: 𝐿=𝜋𝑅22𝑅=𝜋2𝑅