Ii bob kombinatorika elementlari

2.3.2.  Nyuton  binomi  haqida  umumiy  ma’lumotlar.  O‘rta  maktab 

matematikasi kursidan quyidagi ikkita qisqa ko‘paytirish formulalarini eslaylik: 

2

2

2

2

)

(

b

ab

a

b

a









 – yig‘indining kvadrati; 

3

2

2

3

3

3

3

)

(

b

ab

b

a

a

b

a











 – yig‘indining kubi. 

Yig‘indining navbatdagi ikkita, ya’ni 4- va 5- darajalarini hisoblaymiz: 





















)

3

3

)(

(

)

)(

(

)

(

3

2

2

3

3

4

b

ab

b

a

a

b

a

b

a

b

a

b

a

 

4

3

2

2

3

4

4

6

4

b

ab

b

a

b

a

a











, 

                                                           

18

 Shtifel Mixel (Michel, 1487-1567) – olmon matematigi. 

19

 Tartalya Nikkolo (Tartalia Nic-colo, 1499 yil atrofida tug‘ilgan-1557) – italyan matematigi va mexanigi. 

20

 Otred Uilyam (Outred William, 1574-1660) – ingliz matematigi. 

 

118 











4

5

)

)(

(

)

(

b

a

b

a

b

a

5

4

3

2

2

3

4

5

5

10

10

5

b

ab

b

a

b

a

b

a

a











. 

Shunday qilib, yig‘indining bikvadrati (ya’ni to‘rtinchi darajasi) 

4

3

2

2

3

4

4

4

6

4

)

(

b

ab

b

a

b

a

a

b

a













 

va yig‘indining beshinchi darajasi 

5

4

3

2

2

3

4

5

5

5

10

10

5

)

(

b

ab

b

a

b

a

b

a

a

b

a















 

formulalariga ega bo‘lamiz. 

Yuqorida  keltirilgan  yig‘indining  kvadrati,  kubi,  bikvadrati  va  beshinchi 

darajasi  formulalari  o‘ng  tomonlaridagi  ko‘phad  koeffitsientlari  Paskal 

uchburchagining mos qatorlaridagi 

m

n

C

 (

5

,

4

,

3

,

2



n

) sonlar ekanligini payqash qiyin 

emas. 

1- t e o r e m a . Barcha haqiqiy 

a

 va 

b

 hamda natural 

n

 sonlar uchun 

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

b

ab

C

b

a

C

b

a

C

a

b

a























1

1

2

2

2

1

1

...

)

(

 

formula o‘rinlidir. 

I s b o t i . Matematik induksiya usulini qo‘llaymiz. 

Baza: 

1



n

 bo‘lganda formula to‘g‘ri: 

b

a

b

a







1

)

(

. 

Induksion  o‘tish:  isbotlanishi  kerak  bo‘lgan  formula 

k

n



  uchun  to‘g‘ri 

bo‘lsin, ya’ni 

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

b

ab

C

b

a

C

b

a

C

a

b

a























1

1

2

2

2

1

1

...

)

(

. 

Formula 

1





k

n

  bo‘lganda  ham  to‘g‘ri  ekanligini  isbotlaymiz.  Haqiqatdan  ham, 

1

1

1











m

n

m

n

m

n

C

C

C

 formuladan foydalanib, quyidagilarni hosil qilamiz: 













k

k

b

a

b

a

b

a

)

)(

(

)

(

1

 

























)

...

)(

(

1

1

2

2

2

1

1

k

k

k

k

k

k

k

k

k

b

ab

C

b

a

C

b

a

C

a

b

a

 

















k

k

k

k

k

k

k

k

ab

C

b

a

C

b

a

C

a

...

2

1

2

1

1

 



















1

1

2

1

1

0

...

k

k

k

k

k

k

k

k

b

ab

C

b

a

C

b

a

C

 

...

)

(

)

(

2

1

2

1

1

0

1

















b

a

C

C

b

a

C

C

a

k

k

k

k

k

k

k

 













1

1

)

(

...

k

k

k

k

k

k

b

ab

C

C

 

1

1

2

1

2

1

1

1

1

...

























k

k

k

k

k

k

k

k

k

b

ab

C

b

a

C

b

a

C

a

. 

Ixtiyoriy 

a

 va 

b

 haqiqiy sonlar hamda 

n

 natural son uchun 

n

b

a

)

(



 

 

119 

ifodaning  ko‘phad  shaklidagi  yoyilmasi  (tasvirlanishi)  Nyuton

21

  binomi  deb 

ataladi.  Umuman  olganda,  “Nyuton  binomi”  iborasiga  tanqidiy  nuqtai  nazardan 

yondoshilsa,  undagi  ikkala  so‘zga  nisbatan  ham  shubha  tug‘iladi:  birinchidan, 

n

b

a

)

(



  ifoda  birdan  katta  natural 

n

  sonlar  uchun  binom  (ya’ni  ikkihad)  emas; 

ikkinchidan,  natural  sonlar  uchun  bu  ifodaning  yoyilmasi  Nyutongacha  ma’lum 

edi

22

. 

Greklar 

n

b

a

)

(



  ifodaning  qatorga  yoyilmasini 

n

ning  faqat 

2



n

  bo‘lgan 

holida  (ya’ni,  yig‘indi  kvadratining  formulasini)  bilar  edilar.  Umar  Xayyom

23

  va 

Ali  Qushchi 

n

b

a

)

(



  ifodani 

2



n

 bo‘lgan natural  sonlar uchun  ham  qatorga  yoya 

bilganlar.  Nyuton  esa  1767  yilda  yoyilma  formulasini  isbotsiz  manfiy  va  kasr 

n

 

sonlar uchun ham qo‘llagan. L. Eyler 1774 yilda Nyuton binomi formulasini kasr 

n

  sonlar  uchun  isbotladi,  K.  Makloren

24

  esa  bu  formulani  darajaning  ratsional 

ko‘rsatkichlari  uchun  qo‘lladi.  Nihoyat,  1825  yilda  N.  Abel

25

  daraja 

ko‘rsatkichining  istalgan  kompleks  qiymatlari  uchun  binom  haqidagi  teoremani 

isbotladi. 

m

n

C

  sonlarni  binomial  koeffitsientlar  deb  ham  atashadi.  Bunday  ta’rif  bu 

koeffitsientlarning  Nyuton  binomi  formulasida  tutgan  o‘rniga  qarab  berilgan 

bo‘lib, 

m

n

C

 son 











n

m

m

m

n

m

n

n

b

a

C

b

a

0

)

(

 

yoyilmadagi 

m

m

n

b

a



 ifodaning koeffitsientidir. 

2- t e o r e m a . Barcha haqiqiy 

a

 va 

b

 hamda natural 

n

 sonlar uchun 













n

m

m

m

n

m

n

m

n

b

a

C

b

a

0

)

1

(

)

(

 

formula o‘rinlidir. 

I s b o t i .  Nyuton  binomi  formulasida 

b

ni  (

b



)ga  almashtirsak  kerakli 

formulani hosil qilamiz. ■ 

                                                           

21

 Isaak Nyuton (Newton, 1643-1727) –ingliz fizigi, mexanigi va matematigi. 

22

 Ushbu paragrafning 3.1 bandidagi xronologik ma’lumotlarga qarang. 

23

 Umar Xayyom G‘iyosiddin Abul-Fatx ibn Ibrohim (مایخ رمع, 1048 yil atrofida tug‘ilgan-1122 yildan so‘ng vafot 

etgan) – fors va tojik shoiri, matematigi va faylasufi. 

24

 Makloren Kolin (Maclaurin Colin, 1698-1746) – Shotlandiya matematigi. 

25

 Abel Nils Xenrik (Niels Henric, 1802-1829) – Norvegiya matematigi. 

 

120 

1-  m i s o l .  Oxirgi  formuladan  xususiy  holda  quyidagi  qisqa  ko‘paytirish 

formulalari kelib chiqadi: 

2



n

 bo‘lganda ayirmaning kvadrati formulasi 

2

2

2

2

)

(

b

ab

a

b

a









; 

3



n

 bo‘lganda ayirmaning kubi formulasi 

3

2

2

3

3

3

3

)

(

b

ab

b

a

a

b

a











. ■ 

Nyuton  binomi  formulasini  kombinatorik  amallar  yordamida  ham  hosil 

qilish mumkin. 

Haqiqatdan  ham,  ixtiyoriy 

n

b

b

b

a

,...,

,

,

2

1

  sonlar  uchun 

)

)...(

)(

(

2

1

n

b

a

b

a

b

a







 

ifodani 





















)

...

(

)

)...(

)(

(

2

1

1

2

1

n

n

n

n

b

b

b

a

a

b

a

b

a

b

a

 















)

...

(

1

3

1

2

1

2

n

n

n

b

b

b

b

b

b

a

 

n

n

n

n

n

b

b

b

b

b

b

b

b

b

a

...

...

)

...

(

2

1

1

2

3

2

1

3

















. 

ko‘rinishda yozish mumkin. Bu tenglikning o‘ng tomonida joylashgan 

n

a

 oldidagi 

koeffitsient  birga  (

0

1

n

C



) teng. Birinchi qavslar ichidagi qo‘shiluvchilar soni 

n

ga 

(

1

n

C

n



) tengligi yaqqol ko‘rinib turibdi. Ikkinchi qavslar ichidagi qo‘shiluvchilar 

n

b

b

b

...,

,

,

2

1

  (

n

ta)  elementlardan  ikkitadan  ko‘paytmalar  (soni 

2

n

C

ga  teng 

gruppalashlar)  ekanligini  ham  payqash  qiyin  emas.  Uchinchi  qavslar  ichidagi 

qo‘shiluvchilar  esa  o‘sha 

n

ta  elementlardan  uchtadan  ko‘paytmalar  bo‘lib, 

ularning soni 

3

n

C

ga teng va hokazo. Oxirgi qo‘shiluvchi oldidagi koeffitsient birga 

(

n

n

C



1

)  teng.  Yuqoridagi  tenglikda 

b

b

b

b

n









...

2

1

  deb  olsak,  Nyuton  binomi 

formulasini hosil qilamiz. 

2.3.3. Binomial koeffitsientlarning xossalari. Binomial koeffitsientlarning 

ba’zi  xossalarini  keltiramiz.  Bu  xossalar  bevosita  gruppalashlarga  oid  bo‘lib, 

tabiiyki, ular Paskal uchburchagining xossalarini ham ifodalaydi. 

1- x o s s a . 

1

1









m

m

n

C

C

m

n

m

n

 (

1

,...,

2

,

1

,

0





n

m

) tenglik o‘rinlidir. 

Haqiqatdan ham, 

 

121 

























)!

1

(

)!

1

(

)!

(

!

)!

(

!

!

)!

1

(

)!

1

(

!

1

m

n

m

m

n

m

m

n

m

n

m

n

m

n

C

C

m

n

m

n

 

1

)!

1

)(

1

(

!

)

(

)!

1

(

!





















m

m

n

m

n

m

m

m

n

m

n

m

. ■ 

Bu  xossa  binomial  koeffitsientlar  qatoridagi  istalgan  ketma-ket  ikki 

elementning biri ma’lum bo‘lsa, boshqasini osonlik bilan hisoblash mumkinligini 

ko‘rsatadi: 

m

n

m

n

C

m

m

n

C

1

1









, 

1

1









m

n

m

n

C

m

n

m

C

, 

bu yerda 

1

,...,

2

,

1

,

0





n

m

.