Ii bob kombinatorika elementlari

4-  t e o r e m a .  Ixtiyoriy 

n

  natural  sonni 

k

ta  natural  qo‘shiluvchilarga 

bo‘laklashlar  soni  shu 

n

  sonning  eng  katta  qo‘shiluvchisi 

k

ga  teng  bo‘lgan 

bo‘laklanishlari soniga teng. 

I s b o t i .   Ferrers  diagrammasining  transpozitsiyasi  tushunchasi  yordamida 

natural 

n

  sonning 

k

ta  natural  qo‘shiluvchilarga  bo‘laklanishlari  va  shu  sonining 

eng  katta  qo‘shiluvchisi 

k

ga  teng  bo‘lgan  bo‘laklanishlari  orasida  bir  qiymatli 

moslik  o‘rnatish  mumkin.  Bu  bir  qiymatli  moslikka  ko‘ra  teoremaning  nasdig‘i 

to‘g‘ridir. ■ 

7-  m i s o l .  3-  misoldan  ma’lumki,  8  uchun  uchta  qo‘shiluvchili  beshta 

bo‘laklash  mavjud,  bu  son  uchun  qo‘shiluvchilarning  eng  kattasi  uchga  teng 

2- jadval 

8 sonining 3ta qo‘shiluvchili 

bo‘laklanishlari 

8 sonining eng katta 

qo‘shiluvchisi 3ga teng 

bo‘laklanishlari 

6+1+1 

3+1+1+1+1+1 

5+2+1 

3+2+1+1+1 

4+3+1 

3+2+2+1 

4+2+2 

3+3+1+1 

3+3+2 

3+3+2 

 

 

160 

bo‘lgan  bo‘laklashlar  ham  beshtadir.  2-  jadvalda  bu  bo‘laklashlar  bir-biriga  mos 

ravishda ikki ustun qilib keltirilgan. 

5-  t e o r e m a .  Ixtiyoriy 

n

  natural  sonning  hech  bir  qo‘shiluvchisi 

k

dan 

oshmaydigan  bo‘laklanishlari  soni  (

k

n



)  sonining 

k

ta  qo‘shiluvchilarga 

bo‘laklanishlar soniga teng. 

I s b o t i .  Birinchidan,  shuni  ta’kidlash  lozimki,  Ferrers  diagrammasining 

transpozitsiyasi 

n

  sonning  hech  bir  qo‘shiluvchisi 

k

dan  oshmaydigan 

bo‘laklanishlari  bilan  shu  sonning 

k

tadan  oshmaydigan  qo‘shiluvchilarga 

bo‘laklanishlari  orasida  o‘zaro  bir  qiymatli  moslik  o‘rnatadi.  Bu  bir  qiymatli 

moslik  asosida 

n

  sonning  hech  bir  qo‘shiluvchisi 

k

dan  oshmaydigan  barcha 

bo‘laklanishlari  soni  shu 

n

  sonning 

k

tadan  oshmaydigan  qo‘shiluvchilarga 

bo‘laklanishlari soniga teng deb xulosa qilish mumkin. 

Ikkinchi  tomondan, 

n

  sonning 

k

tadan  oshmaydigan  qo‘shiluvchilarga 

bo‘laklanishiga mos Ferrers diagrammasi 

n

ta nuqtadan tashkil topgan bo‘lib, ular 

k

tadan oshmaydigan qatorlarda joylashgan bo‘ladi. Bunday diagrammalarning har 

biriga 

k

ta nuqtadan tuzilgan ustunni chap tomondan joylashtirsak, 

k

ta qatorga va 

(

k

n



)ta  nuqtali  diagrammaga  ega  bo‘lamiz.  Aksincha,  (

k

n



)ta  nuqtali  har  bir 

Ferrers  diagrammasidan 

k

ta  qatorga  ega  birinchi  ustunni  olib  tashlasak, 

n

ta 

nuqtadan  tashkil  topgan  va  qatorlari  soni 

k

tadan  ko‘p  bo‘lmagan  diagrammani 

hosil qilamiz. 

Ko‘rsatilgan  bu  ikki  turdagi  diagrammalar  orasidagi  o‘zaro  bir  qiymatli 

moslik 

n

 sonni qo‘shiluvchilari 

k

tadan oshmaydigan bo‘laklashlar soni 

)

,

(

k

k

n

R



 

ifodaga tengligini tasdiqlaydi. ■ 

 

Muammoli masala va topshiriqlar 

 

1.  Qo‘shiluvchilar  tartibi  e’tiborga  olingan  holda  6,  7  va  8ni  natural  sonlar 

yig‘indisi  ko‘rinishda  ifodalang hamda 

)

6

(

B

, 

)

7

(

B

  va 

)

8

(

B

larning  qiymatlarini 

aniqlang. 

 

161 

2.  Qo‘shiluvchilar 

tartibi 

e’tiborga 

olinmagan 

holda 

9ning 

barcha 

bo‘laklanishlarini yozing va 

)

9

(

R

ni hisoblang. 

3.  Bozorda  dehqon  15  dona  qovunni  7  nafar  xaridorga  donabay  sotdi.  Agar 

navbatdagi  har  bir  savdoda  dehqonning  sotgan  qovunlari  soni  oldingi 

savdodagiga qaraganda kamaymagan bo‘lsa, u holda barcha savdolarda sotilishi 

mumkin bo‘lgan qovunlar sonlarining barcha imkoniyatlarini toping. 

4.  Odatda  biror  qarorni  ko‘pchilik  bo‘lib  qabul  qilish  maqsadida  ovoz  berganda 

“tarafdor” va “qarshi” ovozlar sonlari o‘zaro teng bo‘lmasligi uchun a’zolari 3 

nafardan kam bo‘lmagan toq sondagi ekspertlar komissiyasi tuziladi. Bu shartni 

qanoatlantiruvchi  17  nafar  ekspertlardan  tashkil  qilinishi  mumkin  bo‘lgan 

komissiyalar sonini hisoblang. 

5.  Kichik  bir  qishloqda  hammasi  bo‘lib  22  bosh  qora  mol  bor  va  har  bir  oilada 

hech bo‘lmasa  bir bosh  qora  mol topiladi.  Bu  qishloqning  hech qaysi oilasida 

uch  boshdan  ko‘p  qora  mol  bo‘lmasa,  qishloqdagi  qora  mollarning  oilalar 

orasida taqsimlanishining barcha variantlarini aniqlang. 

 

Mustaqil ishlash uchun savollar 

 

1.  Natural  sonlarni  natural  yoki  manfiymas  butun  qo‘shiluvchilar  yig‘indisi 

sifatida tasvirlash masalasining mohiyati nimadan iborat? 

2.  Natural  sonlarni  natural  yoki  manfiymas  butun  qo‘shiluvchilar  yig‘indisi 

sifatida tasvirlash masalasi qanday shartlarda qaralishi mumkin? 

3.  Qo‘shiluvchilar  tartibi  e’tiborga  olingan  holda  natural 

n

  sonning 

k

ta 

qo‘shiluvchilarga  bo‘laklanishlari  soni 

)

,

( k

n

B

  bilan  shu  sonning  barcha 

bo‘laklanishlari soni 

)

(n

B

 orasida qanday munosabat bor? 

4.  Qo‘shiluvchilar  tartibini  e’tiborga  olgan  holda  istalgan 

n

  natural  sonning 

k

ta 

qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishlari sonini hisoblash formulasini bilasizmi? 

5.  Qo‘shiluvchilar tartibini e’tiborga olgan holda istalgan 

n

 natural sonning barcha 

bo‘laklanishlari sonini qanday hisoblash mumkin? 

 

162 

6.  Qo‘shiluvchilar  tartibi  e’tiborga  olinmagan  holda  natural 

n

  sonning 

k

ta 

qo‘shiluvchilarga  bo‘laklanishlari  soni 

)

,

( k

n

R

 

bilan, 

uning 

barcha 

bo‘laklanishlari soni 

)

(n

R

 orasida qanday munosabat bor? 

7.  Ferrers diagrammasi nima? 

8.  Diagrammali usul deganda nimani tushunasiz? 

9.  Normal Ferrers diagrammasi nima? 

10. 

Ikkilanma Ferrers diagrammasi qanday tuziladi? 

11. 

Qo‘shma bo‘laklash nima? 

12. 

Ixtiyoriy 

n

 natural sonning har xil natural qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishlari 

soni bilan shu sonning toq qo‘shiluvchlarga bo‘laklanishlari soni orasida qanday 

bog‘lanish bor? 

13. 

Ixtiyoriy 

n

  natural  sonni 

k

ta  natural  qo‘shiluvchilarga  bo‘laklashlar  soni 

bilan shu 

n

 sonning eng katta qo‘shiluvchisi 

k

ga teng bo‘lgan bo‘laklanishlari 

soni orasidagi bog‘lanish qanday ifodalanadi? 

14. 

Ixtiyoriy 

n

  natural  sonning  hech  bir  qo‘shiluvchisi 

k

dan  oshmaydigan 

bo‘laklanishlari soni bilan (

k

n



) sonining 

k

ta qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishlar 

soni orasida qanday bog‘lanish bor? 

 

2.7. Hosil qiluvchi funksiyalar 

 

Sonlar ketma-ketligi. Qator. Qatorning yaqinlashashi. Xususiy yig‘indi. 

Yaqinlashuvchi qatorning yig‘indisi. Funksional qator. Darajali qator. 

Kombinatorik ob’yekt. Funksiya. Funksiyaning darajali qatorga yoyilishi. Hosil 

qiluvchi funksiya. Binomial koeffitsient. Nyuton binomi. Fibonachchi sonlari. Bine 

formulasi. Eyler ayniyati. 

 

2.7.1.  Hosil  qiluvchi  funksiyalarning  ta’rifi.  Matematik  analiz  kursidan 

hosil qiluvchi funksiyalarning ta’rifi uchun zarur ayrim tushunchalarni keltiramiz. 

Chekli sonlardan tashkil topgan 

,...

,...,

,

2

1

n

u

u

u

 cheksiz ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. 

 

163 

1-  t a ’ r i f .  Chekli 

,...

,...,

,

2

1

n

u

u

u

  sonlar  ketma-ketligi  yordamida  tuzilgan 

















1

2

1

...

...


k

k

n

u

u

u

u

  ifoda  sonli  cheksiz  qator  yoki,  qisqacha,  qator  deb, 

,...

,...,

,

2

1

n

u

u

u

 sonlar esa qatorning hadlari deb ataladi. 

2-  t a ’ r i f . 

n

n

u

u

u

s









...

2

1

  yig‘indiga  qatorning  xususiy  yig‘indisi  deb 

ataladi. 

3-  t a ’ r i f .  Agar  qatorning  xususiy  yig‘indilaridan  tuzilgan 

,...

,...,

,

2

1

n

s

s

s

 

ketma-ketlik  chekli  limitga  ega  bo‘lsa,  u  holda  qator  yaqinlashuvchi  va  bu 

limitning qiymati yaqinlashuvchi qator yig‘indisi deb ataladi. 

4-  t a ’ r i f .  Agar  xususiy  yig‘indilar  ketma-ketligi  chekli  limitga  ega 

bo‘lmasa, u holda qator uzoqlashuvchi deb ataladi. 

Yuqorida  keltirilgan  sonli  cheksiz  qator  tushunchasida  qatorning 

,...

,...,

,

2

1

n

u

u

u

  hadlari  sonlar  emas,  balki  qandaydir 

x

  o‘zgaruvchiga  bog‘liq  chekli 

qiymatlar qabul qiluvchi  

),...

(

),...,

(

,

)

(

2

1

x

u

x

u

x

u

n

 funksiyalardan iborat bo‘lsa, u holda 

bu funksiyalarning cheksiz yig‘indisini ifodalovchi 

















1

2

1

)

(

...

)

(

...

)

(

)

(

k

k

n

x

u

x

u

x

u

x

u

 

funksional qator tushunchasiga ega bo‘lamiz. 

Amaliy  masalalarni  hal  qilishda  funksional  qatorlar  sinfiga  tegishli  bo‘lgan 

darajali  qatorlar  muhim  ahamiyatga  ega. 



















1

2

2

1

0

...

...

k

k

k

n

n

x

a

x

a

x

a

x

a

a

 

ko‘rinishga  ega  bo‘lgan  funksional  qator  darajali  qator  deb  yuritiladi,  bu  yerda 

,...

,...,

,

,

2

1

0

n

a

a

a

a

  berilgan  chekli  o‘zgarmas  koeffitsientlarni, 

x

  esa  qator 

o‘zgaruvchisini ifodalaydi. 

Tushunarliki,  o‘zgaruvchisi  nolga  teng  bo‘lgan  har  qanday  darajali  qator 

yaqinlashuvchidir.  Odatda  darajali  qator  o‘zgaruvchining  ba’zi  qiymatlarida 

yaqinlashuvchi,  boshqalarida  esa  uzoqlashuvchi  bo‘ladi.  Ammo,  shunday  darajali 

qatorlar  borki,  ular  o‘zgaruvchi  qanday  qiymatga  ega  bo‘lishidan  qat’iy  nazar 

yaqinlashuvchi  yoki  o‘zgaruvchining  noldan  boshqa  barcha  qiymatlarida 

uzoqlashuvchi bo‘ladi. 

 

164 

Agar biror funksiyani darajali qator ko‘rinishga ifodalash mumkin bo‘lsa, u 

holda bu qator funksiyaning darajali qatorga yoyilishi deb yuritiladi. 

Kombinatorikada qator tushunchasi kombinatorik ob’yektlar tufayli vujudga 

kelgan  ketma-ketliklar  bilan  ishlash  uchun  kerakli  qurol  sifatida  qo‘llaniladi. 

Masalan,  agar  bo‘laklash  masalasi  qaralayotgan  bo‘lsa,  bunday  sonlar  ketma-

ketligining  elementlari  qilib 

n

  natural  sonni  qo‘shiluvchilar  yig‘indisi  sifatida 

bo‘laklashlar soni 

)

(n

R

ni olish mumkin. 

Agar  darajali  qator  vositasida  chekli  sonlarning 

,...

,...,

,

,

2

1

0

n

a

a

a

a

  cheksiz 

ketma-ketligiga  haqiqiy  yoki  kompleks  o‘zgaruvchili  qandaydir  funksiya  mos 

qo‘yilishi  mumkin  bo‘lsa,  u  holda  ketma-ketliklar  ustida  bajariladigan  ba’zi 

amallarni ularga mos funksiyalar ustida bajarish imkoniyati paydo bo‘ladi. 

5- t a ’ r i f . Darajali qator yig‘indisini ifodalovchi 









0

)

(

k

k

k

x

a

x

f

 

funksiya 

,...

,...,

,

,

2

1

0

n

a

a

a

a

 ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi deb ataladi. 

Bu  yerda 

)

(x

f

  funksiyani  aniqlovchi  qatorning  yaqinlashuvchi  bo‘lishi 

uchun 

x

  o‘zgaruvchining  haqiqiy  yoki  kompleks  qiymatli  bo‘lishi  muhim 

ahamiyatga ega emas. 

Matematik analiz kursidan ma’lumki, agar 









0

)

(

k

k

k

x

a

x

f

 darajali qator 

0



x

 

nuqtaning  qandaydir  atrofida  yaqinlashuvchi  bo‘lsa,  u  holda 

!

)

0

(

)

(

k

f

a

k

k



 

(

,...

2

,

1

,

0



k

)  formula  o‘rinli  bo‘ladi,  bu  yerda 

)

0

(

)

(k

f

  ifoda 

)

(x

f

  funksiyadan 

olingan 

k

- tartibli hosilasining 

0



x

 nuqtadagi qiymatidir. 

1-  m i s o l .  Hadlari  faqat  birlardan  iborat  bo‘lgan 

,...

1

,...,

1

,

1

  sonlar  ketma-

ketligining hosil qiluvchi funksiyasi 

x

x

f





1

1

)

(

 ko‘rinishga ega bo‘ladi. 

Haqiqatdan ham, 

,...

1

,...,

1

,

1

 sonlar ketma-ketligiga 

...

...

1

2











n

x

x

x

 

darajali qator mos keladi va bu darajali qatorning hadlari maxraji 

x

ga teng bo‘lgan 

 

165 

,...

,...,

,

,

1

2

n

x

x

x

 

ko‘rinishdagi geometrik progressiyadan iboratdir. Elementar matematika kursidan 

ma’lumki,  bu  progressiya 

1

|

|



x

  bo‘lganda  cheksiz  kamayuvchi  geometrik 

progressiya bo‘ladi va uning barcha hadlari yig‘indisi 

x

x

x

x

n















1

1

...

...

1

2

 

formula bilan ifodalanadi. ■ 

2-  m i s o l .  1-  misoldagidek  mulohaza  yuritib  har  qanday  chekli 

a

  songa 

mos  keluvchi 

,...

,...,

,

,

1

2

n

a

a

a

  sonlar  ketma-ketligining  hosil  qiluvchi  funksiyasi 

ax

x

f





1

1

)

(

 ko‘rinishda bo‘lishini aniqlash mumkin. ■ 

2.7.2.  Hosil  qiluvchi  funksiyalarning  oddiy  xossalari.  Hosil  qiluvchi 

funksiyalar  bir  qator  xossalarga  ega.  Biz  quyida  shunday  xossalardan  ba’zilarini 

oddiy  xossalar  sifatida  keltiramiz.  Ular  hosil  qiluvchi  funksiyalarni  tuzish  hamda 

ulardan amaliy masalalarni hal etishda ko‘mak berishadi. 

1-  x o s s a .  Agar 

,...

,...,

,

,

2

1

0

n

a

a

a

a

  ketma-ketlikning  hosil  qiluvchi  funksiyasi 

)

(x

f

a

  va 

,...

,...,

,

,

2

1

0

n

b

b

b

b

  ketma-ketlikning  hosil  qiluvchi  funksiyasi 

)

(x

f

b

  bo‘lsa,  u 

holda 

,...

,...,

,

,

2

2

1

1

0

0

n

n

b

a

b

a

b

a

b

a









 

ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi 

)

(

)

(

)

(

x

f

x

f

x

f

b

a





 bo‘ladi. 

Haqiqatdan  ham, 









0

)

(

k

k

k

a

x

a

x

f

  va 









0

)

(

k

k

k

b

x

b

x

f

  bo‘lgani  uchun,  darajali 

qatorlarni hadlab qo‘shib (ayirib), 

)

(

)

(

)

(

)

(

0

0

0

x

f

x

f

x

b

x

a

x

b

a

x

f

b

a

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k































 

munosabatni hosil qilamiz. ■