Ii bob kombinatorika elementlari

2- 

t e o r e m a . 

Fibonachchi 

soni 

n

u

 

(

,...

2

,

1

,

0



n

) 

uchun 



























 













 



n

n

n

u

2

5

1

2

5

1

5

1

 tenglik o‘rinlidir. 

I s b o t i . Avvalo, noma’lum koeffitsientlar usulini qo‘llab va 

2

1

)

(

x

x

x

x

u







 

funksiyaning  kasr  ko‘rinishda  ekanligini  e’tiborga  olib,  uni  ikkita  kasr  yig‘indisi 

qilib  tasvirlaymiz.  Bu  ishni  amalga  oshirish  uchun,  oldin, 

0

1

2







x

x

  kvadrat 

tenglamaning 

1

x

 va 

2

x

 ildizlarini topamiz: 

2

5

1

1







x

, 

2

5

1

2







x

. 

Agar 

2

5

1

1









x



 va 

2

5

1

2









x



 deb belgilasak, u holda 

1









 va 

1







  bo‘lishi  ravshandir.  Endi 

2

1

x

x





  kvadrat  uchhadni  ko‘paytuvchilarga 

ajratamiz: 





















)

)(

(

)

)(

(

1

2











x

x

x

x

x

x

 

)

1

)(

1

(

)

1

)(

1

(

)

)(

(

x

x

x

x

x

x



































. 

Shunday qilib, 

 

171 







x

B

x

A

x

x

x

x

u























1

1

1

1

)

(

, 

bu yerda 

A

 va 

B

 noma’lum koeffitsientlardir. Kasrlarni qo‘shish amalini bajarib, 

quyidagiga ega bo‘lamiz: 







x

x

x

B

A

B

A

x

x

x

























1

1

)

(

1

2

. 

Bu yerdan 

2

1

x

x





 kvadrat uchhadning noldan farqli barcha qiymatlarida 

x

B

A

B

A

x

)

(













 

bo‘lishi  kelib  chiqadi.  Oxirgi  tenglikning  chap  va  o‘ng  tomonlaridagi 

x

 

o‘zgaruvchining  mos  darajalari  koeffitsientlarni  tenglashtirsak, 

A

  va 

B

 

noma’lumlarga nisbatan quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: 

















.

1

,

0





B

A

B

A

 

Bu sistemani yechib, 

5

1

1











A

 va 

5

1

1













B

 ekanligini topamiz. 

Demak, 





































x

x

x

x

x

x

x

x

u









1

1

1

1

5

1

1

5

1

1

5

1

1

)

(

2

. 

2- misol asosida 



















































0

0

)

(

)

(

5

1

1

1

1

1

5

1

)

(

n

n

n

n

x

x

x

x

x

u









 











































 













 







0

0

2

5

1

2

5

1

5

1

5

1

n

n

n

n

n

n

n

n

x

x





 

munosabatga  ega  bo‘lamiz.  Endi 









0

)

(

n

n

n

x

u

x

u

  ekanligini  eslasak, 

0

0



u

  va 

1

1



u

 

shartlar bilan aniqlanuvchi 

n

u

, 

,...

2

,

1

,

0



n

, umumlashgan Fibonachchi sonlari uchun 

Bine formulasi o‘rinli bo‘lishi tasdiqlanadi. ■ 

Endi  qo‘shiluvchilar  tartibi  e’tiborga  olinmagan  holda  natural 

n

  sonning 

natural qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishlari sonlaridan tashkil topgan

41

 

                                                           

41

  Bu  yerda  yozuvning  ixchamligi  nuqtai  nazaridan  (0  natural  sonlar  to‘plamiga  tegishli  bo‘lmasada,  ya’ni 

)

0

(

R

 

yozuv ma’noga ega bo‘lmasada) 

1

)

0

(



R

 deb qabul qilindi. 

 

172 

),...

(

),...,

3

(

),

2

(

),

1

(

),

0

(

n

R

R

R

R

R

 

ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi hisoblangan 

...

12

7

5

3

2

1

)

(

)

(

6

5

4

3

2

0

























x

x

x

x

x

x

x

n

R

x

r

n

n

 

darajali qatorni qaraymiz. 

L.  Eyler 

)

1

)...(

1

)(

1

)(

1

(

3

2

n

x

x

x

x









  ko‘rinishdagi  ko‘paytmalarni  natural 

n

 

uchun tekshirib, 1748 yilda 













































1

2

3

2

3

1

2

2

)

1

(

1

)

1

(

)

(

m

m

m

m

m

m

n

n

x

x

x

x



 

formulani isbotlagan edi. Bu formula Eyler ayniyati deb yuritiladi. 

3- t e o r e m a . 

1

)

(

)

(



x

r

x



. 

I s b o t i . 

x

x

x

x

n















1

1

...

...

1

2

  tenglikdan  foydalanib  (1-  misolga 

qarang) 



















...

1

1

...

1

1

1

1

)

(

1

2

k

x

x

x

x



 

...)...

1

(

...

...

...)

1

...)(

1

(

3

2

6

4

2

3

2































k

k

k

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

munosobatga  ega  bo‘lamiz.  Oxirgi  ko‘paytmadagi  qavslarni  ochganda  mumkin 

bo‘lgan  barcha 

k

k

ka

a

a

ka

a

a

x

x

x

x









...

2

2

2

1

2

1

...

  ko‘rinishdagi  ifodalar  yig‘indisi  hosil 

bo‘ladi,  bu  yerda 

k

a

a

a

,...,

,

2

1

  –  butun  manfiymas  sonlar.  Shuning  uchun, 

n

  sonni 

k

ka

a

a







...

2

2

1

  ko‘rinishda  ifodalash  imkoniyatlari  soni  qancha  bo‘lsa  o‘shancha 

marta bu yig‘indida 

n

x

 qatnashadi. 

























marta

marta

marta

2

1

...

...

2

...

2

1

...

1

...

2

2

1

k

a

a

a

k

k

k

ka

a

a



























 

yozuvdan  ko‘rinib  turibdiki, 

n

  sonni 

k

ka

a

a







...

2

2

1

  ko‘rinishda  ifodalash 

imkoniyatlari  soni  shu  sonning  qo‘shiluvchilar  tartibi  e’tiborga  olinmagan  holda 

barcha  bo‘laklanishlari  soniga,  ya’ni 

)

(n

R

ga  tengdir.  Bu  tasdiq 

)

(

)

(

1

x

r

x





 

tenglikning to‘g‘riligini isbotlaydi. ■ 

Eyler ayniyatini e’tiborga olgan holda 

1

)

(

)

(



x

r

x



 tenglikni 

 

173 

1

...)

)

(

...

)

3

(

)

2

(

)

1

(

)

0

(

(

...)

1

(

3

2

15

12

7

5

2

































n

x

n

R

x

R

x

R

x

R

R

x

x

x

x

x

x

 

ko‘rinishda  yozamiz.  Bu  tenglikning  chap  tomonidagi  qavslarni  ochib  va 

n

x

x

x

x

,...,

,

,

3

2

  ifodalarning  koeffitsientlarini  nolga  tenglashtirib  quyidagilarga  ega 

bo‘lamiz: 

0

)

0

(

)

1

(





R

R

, 

0

)

0

(

)

1

(

)

2

(







R

R

R

, 

0

)

1

(

)

2

(

)

3

(







R

R

R

, 

………………………. 

...

)

7

(

)

5

(

)

2

(

)

1

(

)

(



















n

R

n

R

n

R

n

R

n

R

 

0

...

2

3

)

1

(

2

3

)

1

(

...

2

2













































m

m

n

R

m

m

n

R

m

m

, 

bu yerda barcha 

0



s

 uchun 

0

)

(



s

R

. 

Demak, qo‘shiluvchilar tartibi e’tiborga olinmagan holda natural 

n

 sonning 

natural qo‘shiluvchilarga barcha bo‘laklanishlari soni 

)

(n

R

 uchun 

...

)

7

(

)

5

(

)

2

(

)

1

(

)

(



















n

R

n

R

n

R

n

R

n

R

. 

...

2

3

)

1

(

2

3

)

1

(

...

2

1

2

1















































m

m

n

R

m

m

n

R

m

m

 

formulaga  ega  bo‘ldik.  Topilgan  formula  yordamida 

1

)

1

(



R

, 

2

)

2

(



R

, 

3

)

3

(



R

, 

5

)

4

(



R

, 

7

)

5

(



R

, 

11

)

6

(



R

, 

15

)

7

(



R

, 

22

)

8

(



R

  bo‘lishini  osongina  hisoblab,  bu 

formulani  qo‘llash  natural 

n

  sonning  barcha  bo‘laklanishlari  soni  uchun  ushbu 

bobning  6-  paragrafida  keltirilgan 







n

k

k

n

R

n

R

1

)

,

(

)

(

  formulani  qo‘llash  bilan 

taqqoslanganda, hisoblash ishlarining keskin kamayganiga guvoh bo‘lamiz. 

 

Muammoli masala va topshiriqlar 

 

1.  Quyidagi ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalarini toping: 

a) 

...

,

4

3

,

3

2

,

2

1







; b) 

,...

4

,

3

,

2

,

1

2

2

2

2

; d) 

...

,

16

1

,

9

1

,

4

1

,

1

; 

 

174 

e) 

...

,

0

,

1

,

0

,

1

,

0

,

1

; f) 

...

,

4

1

,

3

1

,

2

1

,

1

; g) 

...

,

!

5

1

,

0

,

!

3

1

,

0

,

1



.