Ii bob kombinatorika elementlari

1.  To‘la o‘yin qartalari (13x4=52ta) orasidan turli mastga ega bo‘lgan bir-biridan 

farq qiluvchi 4ta qartani tanlash imkoniyatlari sonini aniqlang. 

2.  Matematika 

so‘zidagi  harflar  o‘rinlarini  almashtirib  ma’noga  ega 

bo‘lmaganlarini  ham  e’tiborga  olganda  tuzish  mumkin  bo‘lgan  barcha  so‘zlar 

sonini toping. 

3.  Shaxmat taxtasining bir qatoriga shoh, farzin, 2 dona rux, 2 dona fil va 2 dona 

otni joylashtirishlar sonini aniqlang. 

4.  0  raqami  birinchi  raqam  sifatida  kelganda,  uni  tashlab  yuborilish  qoidasiga 

amal qilib 0, 1, 2, 3, 4, 5 raqamlaridan tuzish mumkin bo‘lgan barcha olti xonali 

sonlar qancha? 

5.  1, 2, 3, 4, 5 sonlaridan tuzish mumkin bo‘lgan barcha uch xonali sonlar qancha? 

6.  Shirinlik  sotiladigan  do‘konda  4  xil  shirinlik  bo‘lsa,  7  dona  shirinlikni  sotib 

olish imkoniyatlari sonini aniqlang. 

7.  Beshta  turli  o‘rindiqlar  va  yettita  turli  rangdagi  materiallar  bor.  Har  bir 

o‘rindiqni faqat bir xil rangdagi material bilan qoplash sharti bilan o‘rindiqlarga 

material qoplash imkoniyatlari sonini toping. 

8.  Homiylar  teleshouda  qatnashayotgan  o‘yinchilarga  kofe  qaynatgichlar, 

 

136 

dazmollar,  uyali  telefon  apparatlari  va  duxilar  sovg‘a  qilishmoqchi.  9  nafar 

o‘yinchilarga bittadan sovg‘a berishi imkoniyatlari sonini toping. 

9.  Turli  5 dona qalam  va  6  dona  ruchkalardan  2ta qalam  va  4ta  ruchkani  tanlash 

imkoniyatlari sonini aniqlang. 

10. 36 ta o‘yin qartasini 4 o‘yinchiga teng bo‘lib berganda mumkin bo‘lgan barcha 

imkoniyatlar sonini hisoblang. 

11. Fermada  20ta  qo‘y  va  24ta  sigir  bor.  Bittadan  qo‘y  va  sigir  tanlash 

imkoniyatlari  soni  bilan  bittadan  qo‘y  va  sigir  tanlangandan  so‘ng  qolgan 

hayvonlar  orasidan  yana  bittadan  qo‘y  va  sigir  tanlash  imkoniyatlari  sonini 

solishtiring. 

12. Toq raqamdan boshlanuvchi juft besh xonali sonlar nechta? 

13. Qirralari  uzunliklari  1dan  10gacha  sonlar  bilan  ifodalanadigan  turli  to‘g‘ri 

burchakli parallelepipedlar sonini hisoblang. 

14. Yetti  nafar  talabalarni  yotoqxonadagi  bir,  ikki  va  to‘rt  o‘rinli  xonalarga 

joylashtirish imkoniyatlari sonini aniqlang. 

15. Agar  to‘qqiz  qavatli  binoning  birinchi  qavatida  turgan  liftda  uch  nafar 

yo‘lovchilar  yuqoriga  ko‘tarilayotgan  va  yo‘lovchilarning  ixtiyoriysi  binoning 

birinchidan yuqoridagi ixtiyoriy qavatida liftdan tushib qolishi  mumkin bo‘lsa, 

u holda liftning yo‘lovchilardan bo‘shab qolish imkoniyatlari sonini aniqlang. 

16. 

4

)

(

d

c

b

a







 ifodaning yoyilmasini toping. 

17. 





20

1

y

x





 ifoda yoyilmasidagi 

8

4

y

x

 qatnashgan had koeffitsientini aniqlang. 

18. O‘nli sanoq tizimida yozilgan olti xonali sonlar orasida 

a) bir xil raqamlari borlari, 

b) raqamlari qat’iy o‘sish tartibida joylashganlari, 

d) rosa uchta juft raqamga egalari, 

f) ikkitadan kam bo‘lmagan juft raqamga egalari, 

g) raqamlari yiq’indisi juft son bo‘lganlari 

sonini aniqlang. 

19. 

n

x

x

x

m









...

2

1

 (

N



n

m,

, 

n

m



) tenglamaning 

a) manfiymas butun, b) natural 

 

137 

yechimlarini topish masalasini tahlil qiling. 

 

Mustaqil ishlash uchun savollar 

 

1.  Takrorlanuvchi  elementlar  qatnashgan  o‘rin  almashtirishlar  takrorlanishi 

bo‘lmagan o‘rin almashtirishlardan nimasi bilan farq qiladi? 

2.  Takrorli  o‘rin  almashtirishlar  soni  formulasidan  foydalanib  takrorlanishi 

bo‘lmagan o‘rin almashtirishlar sonini hisoblash mumkinmi? 

3.  Takrorlanuvchi 

elementlar 

qatnashgan 

o‘rinlashtirishlar 

takrorlanishi 

bo‘lmagan o‘rinlashtirishlardan nimasi bilan farq qiladi? 

4.  Takrorli o‘rinlashtirishlar soni formulasidan foydalanib takrorlanishi bo‘lmagan 

o‘rinlashtirishlar sonini hisoblash mumkinmi? 

5.  Takrorlanuvchi  elementlar  qatnashgan  gruppalashlar  takrorlanishi  bo‘lmagan 

gruppalashlardan nimasi bilan farq qiladi? 

6.  Takrorli  gruppalashlar  soni  formulasini  isbotlashda  qanday  usuldan 

foydalanilgan? 

7.  Takrorli  o‘rin  almashtirishlar  soni  formulasidan  foydalanib  takrorlanishi 

bo‘lmagan gruppalashlar sonini hisoblash mumkinmi? 

8.  Ko‘phad formulasining Nyuton binomi formulasidan qanday farqi bor? 

9.  Ko‘phadiy koeffitsientlarning qanday xossalarini bilasiz? 

 

2.5. Fibonachchi

28

 sonlari 

Sonli ketma-ketlik. Rekurrent tenglik. Fibonachchi qatori. Fibonachchi sonlari. 

Umumlashgan Fibonachchi qatori. Binomial koeffitsientlar. Paskal uchburchagi. 

Matematik induksiya usuli. Bine formulasi. Oltin kesim. Logarifmik spiral. 

 

2.5.1. Fibonachchi sonlarining ta’rifi. Elementlari haqiqiy sonlardan iborat 

bo‘lgan 

n

u

u

u

u

,...,

,

,

3

2

1

,... 

                                                           

28

 Fibonachchi Pizanskiy (Fibonacci Leonardo Pisano, 1180-1240) – italyan matematigi. 

 

138 

ketma-ketlikni  qaraymiz.  Bu  ketma-ketlikdagi  elementlarning  uchinchisidan 

boshlab  har  biri  o‘zidan  oldingi  ikkita  elementning  yig‘indisiga  teng,  ya’ni 

2

1









n

n

n

u

u

u

  (

3



n

)  bo‘lsin.  Ravshanki,  bu  ketma-ketlikni  tashkil  qilishda  uning 

dastlabki  ikkita  hadi  muhim  bo‘lib,  keyingi  barcha  hadlari  rekurrent

29

  tenglik 

vositasida aniqlanadi. 

1-  t a ’ r i f . 

1

2

1





u

u

  bo‘lgan  holda 

2

1









n

n

n

u

u

u

  (

3



n

)  rekurrent  tenglik 

vositasida  aniqlan  ketma-ketlik  Fibonachchi  qatori,  uning  hadlari  esa 

Fibonachchi sonlari deb ataladi. 

Tabiiyki,  Fibonachchi  qatoridagi  Fibonachchi  sonlarini  aniqlash  jarayoni 

cheksizdir. Fibonachchi sonlarining dastlabki 24tasi quyida keltirilgan: 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 

10946, 17711, 28657, 46368. 

“Fibonachchi  sonlari”  iborasi  birinchi  bo‘lib  XIX  asrda  Eduard  Lyuka

30

 

tomonidan  qiziqarli  matematikaga  bag‘ishlab  yozilngan  asarda  qo‘llanilgan. 

Fibonachchi (bu so‘z italyancha “filius Bonacci” so‘zlaridan qisqartirilib tuzilgan 

bo‘lib,  Bonachchining  o‘g‘li  ma’nosini  anglatadi)  Italiyadagi  Piza  shahrida  XII-

XIII  asrlarda  yashagan  Leonardo  Pizanskiyning  boshqacha  ismidir  (laqabidir). 

Bonachchi  Italiya  va  Jazoirda  savdo-sotiq  bilan  shug‘ullangan.  Leonardo 

boshlang‘ich  ma’lumotni  Jazoirda  olgan  bo‘lib,  u o‘zining arab  o‘qituvchilaridan 

hind  pozitsion  o‘nlik  sanoq  tizimi

31

  va  nolni  o‘rgangan  edi.  Fibonachchi  “Liber 

abaci”  (“Abak  haqidagi  kitob”  –  1202  yilda  yozilgan  bo‘lib,  1228  yildagi 

qo‘lyozma  nusxasi  saqlangan)  nomli  kitobida  arifmetika  va  algebra  bo‘yicha  o‘z 

davrining  deyarli  barcha  ma’lumotlarini  bayon  qilgan.  Xususan,  o‘sha  kitobda 

hozir  butun  dunyoda  ommabob  hisoblangan  “arab”  raqamlari  bayon  qilingan. 

Qo‘lyozmaning  (1228  yil)  123-124  sahifalarida  uy  quyonlarining  ko‘payishi 

haqidagi quyidagi masala bayon qilingan. 

 

“Bir kishi bir juft quyonni ko‘paytirish maqsadida saqlagan bo‘lsin.

 

                                                           

29

 “Recurrens” lotincha so‘z bo‘lib, o‘ziga qaytaruvchi ma’nosini beradi. 

30

 Lyuka yoki Lukas (Lucas François Édouard Anatole, 1842-1891) – fransuz matematigi. 

31

  Bu  tizim  haqidagi  ma’lumot  g‘arbga  arablar  orqali  o‘tganligi  sababli  uni,  ba’zan,  yanglish  ravishda,  “arab 

pozitsion o‘nlik sanoq tizimi” deyishadi. 

 

139 

Quyonning tabiati shundayki, har bir  juft quyon bir  oyda boshqa bir  juft quyonni 

dunyoga  keltiradi  va  yangi  paydo  bo‘lgan  juft  quyonlar  ikkinchi  oydan  boshlab 

nasl  bera  boshlaydilar.  Bir  yildan  so‘ng  dastlabki  juft  quyonlarning  ko‘payishi 

natijasida necha juft quyon vujudga keladi?” 

Bu  masalani  yechish  jarayonida  Fibonachchi  dastlabki  yilning  har  bir  oyi 

uchun quyonlar juftlari sonini aniqlagan. Bu sonlar 1- jadvalda keltirilgan.  “Liber 

abaci”dan  bu  masala  yechimi  bayonining  so‘nggi  satrlarini  keltiramiz:  “...Oxirgi 

oyda  tug‘ilgan  yangi  144  juft  quyonlar  qo‘shilsa  377  juft  quyon  hosil  bo‘ladi. 

Shuncha juft quyon bir yil davomida bir juft quyondan ko‘payar ekan”. Quyonlar 

haqidagi  masalada  uchragan  sonlar  Fibonachchi  qatorining  dastlabki  sonlari 

ekanligi yaqqol ko‘rinib turibdi. 

Fibonachchining  o‘zi  Fibonachchi  qatorining  xossalarini  o‘rganish  bilan 

shug‘ullanmagan  deb  hisoblashadi  (har  ehtimolga  qarshi,  bizgacha  yetib  kelgan 

bunday izlanishlar haqida ma’lumotlar yo‘qligini ta’kidlaymiz). XIX asr boshlarida 

Fibonachchi  qatorining  turli  xossalariga  bag‘ishlangan  ilmiy  ishlar  soni 

“Fibonachchi quyonlari sonidek o‘sgan”. 

 

Eduard  Lyuka  ixtiyoriy 

1

u

  va 

2

u

  sonlardan  boshlanuvchi  hamda 

2

1









n

n

n

u

u

u

  (

3



n

)  rekurrent  tenglik  bilan  aniqlanuvchi  sonlar  qatorini 

umumlashgan Fibonachchi qatori deb nomlagan. 

1- jadval 

O‘tgan oylar soni  Tug‘ilgan juft quyonlar 

Jami juftlar 

0 

0 

1 

1 

1 

2 

2 

1 

3 

3 

2 

5 

4 

3 

8 

5 

5 

13 

6 

8 

21 

7 

13 

34 

8 

21 

55 

9 

34 

89 

10 

55 

144 

11 

89 

233 

12 

144 

377 

 

 

140 

2.5.2.  Fibonachchi  sonlarining  oddiy  xossalari.  Fibonachchi  sonlari  juda 

ko‘plab qiziqarli xossalarga ega. Quyida bu xossalardan ba’zilarini keltiramiz. 

1-  x o s s a .  Dastlabki 

n

ta  Fibonachchi  sonlarining  yig‘indisi  (

1

2





n

u

)ga 

teng, ya’ni 

1

...

2

2

1













n

n

u

u

u

u

. 

Haqiqatdan ham, Fibonachchi sonlarining ta’rifiga ko‘ra 

































)

(

)

(

...

)

(

)

(

...

1

2

1

3

4

2

3

2

1

n

n

n

n

n

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

 

1

2

2

2













n

n

u

u

u

. ■ 

2-  x o s s a .  Toq  raqamli  dastlabki 

n

ta  Fibonachchi  sonlarining  yigindisi 

n

u

2

ga teng, ya’ni 

n

n

u

u

u

u

u

2

1

2

5

3

1

...













. 

Ravshanki, 













1

2

5

3

1

...

n

u

u

u

u

 

n

n

n

u

u

u

u

u

u

u

u

2

2

2

2

4

6

2

4

2

)

(

...

)

(

)

(





















.■ 

3-  x o s s a .  Juft  raqamli  dastlabki 

n

ta  Fibonachchi  sonlarining  yig‘indisi 

(

1

1

2





n

u

)ga teng, ya’ni 

1

...

1

2

2

6

4

2















n

n

u

u

u

u

u

. 

Bu xossani isbotlash uchun, 1- xossaga ko‘ra, 

1

...

2

2

2

2

1













n

n

u

u

u

u

 

tenglik o‘rinli ekanligini va 2-xossani hisobga olish kifoya: 





















)

...

(

...

2

3

2

1

2

6

4

2

n

n

u

u

u

u

u

u

u

u

 















)

...

(

1

2

5

3

1

n

u

u

u

u

 

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2























n

n

n

n

n

u

u

u

u

u

. ■ 

Yuqorida  isbotlangan  1-  va  2-  xossalardan  foydalanib,  Fibonachchi 

sonlarining ishorasi almashuvchi qatori yig‘indisi haqidagi quyidagi xossasini ham 

isbotlash mumkin. 

4- x o s s a . Dastlabki 

n

ta Fibonachchi sonlari uchun 

1

)

1

(

)

1

(

...

1

1

1

4

3

2

1

























n

n

n

n

u

u

u

u

u

u

     tenglik o‘rinlidir. 

 

141 

 

5-  x o s s a .  Dastlabki 

n

ta  Fibonachchi  sonlari  kvadratlarining  yig‘indisi 

1



n

n

u

u

ga teng, ya’ni 

1

2

2

2

2

1

...











n

n

n

u

u

u

u

u

. 

Haqiqatdan  ham,  Fibbonachi  qatorining  ta’rifiga  ko‘ra 

2

1

2

1

u

u

u



  bo‘ladi  va 

birdan katta ixtiyoriy natural 

n

 son uchun 

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

1

1

1

1

2

)

(



















 

tenglik o‘rinlidir. Shuning uchun 















2

1

3

2

2

1

2

2

2

2

1

...

u

u

u

u

u

u

u

u

u

n

 

1

1

1

...















n

n

n

n

n

n

u

u

u

u

u

u

. ■ 

6-  x o s s a .  Ixtiyoriy 

n

u

  Fibonachchi  sonining  kvadrati  bilan 

1

1





n

n

u

u

 

ko‘paytma orasidagi farq birga teng, ya’ni 

1

1

1

2

)

1

(













n

n

n

n

u

u

u

. 

Bu  hossani  matematik  induksiya  usuli  yordamida  isbotlaymiz.  Baza: 

2



n

 

uchun 

1

2

2

3

1

2

2

)

1

(

1

2

1

1



















u

u

u

 – tasdiq to‘g‘ri. 

Induksion o‘tish: bu xossa 

2





k

n

  uchun  to‘g‘ri,  ya’ni 

1

1

1

2

)

1

(













k

k

k

k

u

u

u

 

yoki 

1

1

1

2

)

1

(













k

k

k

k

u

u

u

 bo‘lsin. Oxirgi tenglikning ikkala tomoniga 

1



k

k

u

u

 ifodani 

qo‘shsak 

1

1

1

1

1

2

)

1

(





















k

k

k

k

k

k

k

k

u

u

u

u

u

u

u

 

tenglik va bu tenglikdan 

1

1

1

1

)

1

(

)

(

)

(



















k

k

k

k

k

k

k

u

u

u

u

u

u

 

kelib chiqadi. Fibonachchi qatorining aniqlanishidan foydalanib, quyidagilarga ega 

bo‘lamiz: 

1

1

1

2

)

1

(















k

k

k

k

k

u

u

u

u

, 

1

2

2

1

)

1

(















k

k

k

k

u

u

u

. 

Oxirgi tenglikning ikkala tomonini (

1



)ga ko‘paytirsak, 

1

)

1

(

1

)

1

(

1

)

1

(

2

1

)

1

(





















k

k

k

k

u

u

u

 

tenglik hosil bo‘ladi. ■ 

 

142 

Matematik  induksiya  usulini  qo‘llab 

,...

,

2

1

u

u

  Fibonachchi  sonlarining 

quyidagi 7–10- xossalarni ham isbotlash mumkin: