Ii. Числовые характеристики определенные усреднением по времени одной достаточно длинной реализации

II. Числовые характеристики определенные

усреднением по времени одной достаточно длинной реализации

1.Математическое ожидание (Среднее значение

реализации случайного процесса)

Физический смысл среднего значения, полученного усреднением по времени одной реализации случайного процесса - это постоянная часть тока или напряжения.

2.Дисперсия

Физический смысл дисперсии случайного процесса это переменная часть мощности тока.

3.Автокорреляционная функция.

Автокорреляционная функция - это характеристика сигнала, которая помогает находить повторяющиеся участки сигнала или определять несущую частоту сигнала, скрытую из-за наложений шума и колебаний на других частотах. Автокорреляционная функция часто используется в обработке и анализе сигналов.

4.Взаимокорреляционная функция.

Свойства АКФ

1. 
   При т =о автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала:
   

2. 
   АКФ - функция чётная
   

3. 
   Важное свойство автокорреляционной функции состоит в следующем: при любом значении временного сдвига т модуль АКФ не превосходит энергии сигнала:
   

4. 
   Обычно, АКФ представляется симметричной линей с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала U(t) автокорреляционная функция может иметь как монотонно убывающей, так и колеблющийся характер
   

Степень коррелированности случайного процесса можно охарактеризовать интервалом корреляции:



– в этом случае значения случайного процесса коррелированы
Графическое определение интервала корреляции

Нестационарные случайные процессы - это случайные процессы с

разными статистическими характеристиками на всех его сечениях..
Определение: Если математическое ожидание и дисперсия случайного процесса не зависят от времени, такой случайный процесс называется стационарным случайным процессом в самом широком смысле.

Автокорреляционная функция стационарного случайного процесса в широком смысле зависит только от расстояния между двумя сечениями случайного процесса и не зависит от того, где эти сечения расположены на оси времени:

Случайный процесс называется стационарным в строгом (узком) смысле, если его функция распределения любого порядка не изменяется при сдвиге совокупности точек t1, t2….. tn на величину τ, т.е.:

Другими словами, для стационарного процесса функция распределения любого порядка и, следовательно, его характеристики не зависят от положения начала отсчета времени. Стационарность означает статистическую однородность процесса во времени. Физически стационарный случайный процесс представляет собой случайный процесс в установившемся режиме. Физически стационарный случайный процесс представляет собой случайный процесс в установившемся режиме, каковым является, например, шум на выходе усилителя через достаточно большой промежуток времени после его включения.

Стационарный случайный процесс в узком смысле, конечно, стационарен в

широком смысле. Но не всегда бывает наоборот.

1. 
   Стационарный
   
2. 
   Нестационарный
   
3. 
   Нестационарный
   

Пример
Задан гармонический процесс со случайной начальной фазой:

Таким образом гармонический процесс со случайной начальной
фазой является стационарным процессом.
В некоторых случаях стационарные случайные процессы обладают эргодическим свойством, т. е. в этом случае численные характеристики стационарных случайных процессов, определенные по ансамблю, равны числовым характеристикам, определяемым усреднением по времени для одной реализации.

Чтобы стационарные случайные процессы были эргодичными, они должны быть стационарными в широком смысле и должны подчиняться следующему условию:

Неэргодический стационарный Эргодический стационарный
случайный процесс случайный процесс

Примеры корреляционных функций эргодических случайных
Процессо
Реальные сообщения, сигналы и помехи - это нестационарные случайные процессы. Однако, когда они рассматриваются в течение ограниченного периода времени, их можно рассматривать как стационарный случайный процесс с очень большим приближением. Поэтому стационарные случайные процессы широко используются в качестве математических моделей сообщений, сигналов и помех.

Известно, что спектральная плотность конкретных сигналов определяется

преобразованием Фуре:
Прямое преобразование Фуре или
спектральной плотности сигнала



Амплитудный спектр

- Фазовый спектр

Одним из эффективных средств анализа сигналов является частотный метод, основанный на представлении сигналов при помощи преобразования Фурье, а цепи - в виде частотной передаточной характеристики. Естественным является использовать математический аппарат частотного метода для анализа случайных процессов.
Но случайный процесс, представляющий собой множество (ансамбль) детерминированных реализаций, не может быть описан комплексной спектральной плотностью, даже и усредненной, так как из-за случайности и независимости фаз составляющих в различных реализациях усреднение приводит к нулевому результату (при mx=0).
Однако можно ввести понятие спектральной плотности среднего квадрата случайного сигнала, поскольку средний квадрат не зависит от соотношения фаз суммируемых гармоник. Если под случайной функцией x(t) подразумевается электрическое напряжение или ток, то ее средний квадрат можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую в сопротивлении 1 Ом. Эта мощность распределена по частотам в некоторой полосе частот, зависящей от механизма образования случайного процесса. Спектральная плотность средней мощности представляет собой среднюю мощность, приходящуюся на 1 Гц при заданной частоте. Ее размерность определяется отношением мощности к полосе частот, то есть является размерностью энергии.
Для определения спектральной плотности случайного сигнала выделим из ансамбля одну реализацию xk(t) длительностью Т. Для нее как для детерминированной функции может быть определена спектральная плотность:

Полная энергия рассматриваемого отрезка k-й реализации равна:

отсюда получаем среднюю мощность:

При увеличении интервала Т энергия отрезка возрастает, однако средняя мощность (из-за 1/T) стремится к некоторому пределу:

где представляет собой спектральную плотность мощности k-й реализации. Спектральная плотность процесса получается

усреднением по всем реализациям.