Ii. Trigonometrik funktsiyalar sistemasining ortogonalligi

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
ZAHIRIDDIN MUHAMMAD BOBUR NOMIDAGI ANDIJON DAVLAT UNIVERSITETI

FIZIKA-MATEMATIKA KAFEDRASI

Matematika yo’nalishining
3-kurs 3M16-guruh talabasi
Usmonov Shoyatbekning
,,Furye qatorlari’’
mavzusidagi
KURS ISHI

Qabul qildi: S.G’ulomov

Bajardi : Sh.Usmonov
Reja.
I.Kirish
II. Trigonometrik funktsiyalar sistemasining ortogonalligi.
III. Eyler-Furye formulalari.
IV. Ixtiyoriy davrli trigonometrik qator.
V.Furye qatori.
VI. Uzluksiz funktsiya uchun Furye qatori.
VII. Juft va toq funktsiyalar uchun Furye qatori.
VIII.Xulosa

Kirish
Ushbu maqolada matematikaning eng muhim mavzularidan biri bo’lgan Furye qatori. Funksiyani Furye qatoriga yoyish tog’risida malumot keltirildi va mavjud muanmolar xal etildi. Agar f (x) funksiya [a;b]kesmada monoton bo‘lsa yoki [a;b] kesmani chekli sondagi qismiy kesmalarga bo‘lish mumkin bo‘lsa va bu kesmalarning har birida f (x) funksiya monoton (faqat o‘ssa yoki faqat kamaysa) yoki o‘zgarmas bo‘lsa, f (x) funksiyaga [a;b] kesmada bo‘laklimonoton funksiya deyiladi. Agar f (x) funksiya [a;b] kesmada chekli sondagi birinchi tur uzilish nuqtalariga ega bo‘lsa, f (x) funksiyaga [a;b] kesmada bo‘lakli-uzluksiz funksiya deyiladi. Agar f (x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz yoki bo‘lakli-uzluksiz bo‘lib, bo‘lakli-monoton bo‘lsa f (x) funksiya [a;b] kesmada Dirixle shartlarini qanoatlantiradi deyiladi.
1. Toq va juft funksiyalarni Furye qatori
Bizga davri T = 2π bo'lgan funksiya berilgan bo`lsin, ya'ni f (x + 2π) f (x). Berilgan funksiyaning Furye qatori va koeffitsiyentlari quyidagicha edi:




Quyida biz juft va toq funksiyalarning Furye qatori
Agar f (x) funksiya [–a; a] da integrallanuvchi bo`lsa, u holda

Ikkinchi integralda x ni -x ga almashtirish bajarib, (5) ga qo`yamiz:

,



f(x) funksiya toq bo’lsa,

f (x) funksiya juft bolsa, ya'ni

Ikkita juft funksiyalarning yoki ikkita toq funksiyalarning ko`paytmasi juft funksiya, juft va toq funksiyalarning ko`paytmasi toq funksiya ekanligini va (7) ni e'tiborga olgan holda juft va toq funksiyalarning Furye qatori koeffitsientlarini hisoblaymiz.

1. 
   f (x) funksiya davri T = 2π bolgan, [-π, π] da Dirixle shartlarini qanoatlantiradigan juft funksiya bo lsin.
   

Juft funksiya uchun Furye qatori faqat kosinuslardan iborat, b_k = 0.

2. 
   f (x) funksiya davri T = 2π bolgan, [-π, π] da Dirixle shartlarini qanoatlantiradigan toq funksiya bo lsin.
   

2. Ixtiyoriy davrli funksiya uchun Furye qatori.
Endi ixtiyoriy 2l davrli, Dirixle shartlarini qanoatlantiruvchi f(x) funksiyani qaraymiz.
o'rniga qo'yish bizni funksiyaga olib keladi, bu funksiyani Furye qatoriga yoyamiz:

bu yerda

,
,
Qatorda va Furye koeffitsentlari formulalarida yangi t o'zgaruvchidan eski x
o'zgaruvchiga qaytib va , ekanini hisobga olib, quyidagiga ega bo'lamiz:
(1)
bu yerda
(2)
Koeffitsentlari (2) formulalari bilan aniqlanadigan (1) gator ixtiyoriy 2l davrli f(x) funksiya uchun Furye qatori deyiladi.
2l davrli juft funksiya uchun hamma b_k = 0 bo'ladi, demak Furye qatori faqat kosinuslarni o'z ichiga oladi:

bu yerda