Iii bob. Kompleks sonlar mavzu Algebraik shakldagi kompleks sonlar. Reja: Kompleks sonning ta’rifi

Kompleks sondan kvadrat ildiz chiqarish va
kompleks koeffitsentli kvadrat tenglamalarni yechish.


Z=a+bi kompleks sonning kvadrat ildizi x+yi ko’rinishdagi kompleks son bo’lsin, ya’ni .

Bu tenglikning har ikkala qismini kvadratga ko’taramiz
a+bi=(x²-y²)+2xyi
Ikkita kompleks sonining bir-biriga tenglik shartidan x va y ni topishga imkon beradigan ikkinchi darajali tenglamalar sistemasini olamiz
(1)
Masala (1) sistemaning haqiqiy ildizlarini topishga keltiriladi. Ikkala tenglamani kvadratga ko’tarib, so’ngra ularni qo’shib, quyidagilar
ni hosil qilamiz:
(x²+y²)²=a²+b² x²+y²=
(radikal oldidagi ishora tashlangan, Chunki x va y ning haqiqiy qiymatlarida x²+y² ifodaning manfiy bo’lishi mumkin emas). Oxirgi tenglamani (1) sitemaning birinchi tenglamasi bilan birgalikda olamiz, ularni qo’shib va ayirib, quyidagilarni hosil qilamiz:

agar b>0 bo’lsa, x va y ishoralari bir xil, agar b>0 bo’lsa, x va y ishoralari bir xil bo’lishligi kelib chiqadi. (1) sistemaning ikkinchi tenglamasidan ko’ramizki, agar x va y larning ishoralari b>0 bo’lsa xar xil ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun b>0 bo’lganda
b<0 bo’lganda
(2)
Misollar.

2)

3)


Kompleks koeffitsentli aZ ²+bZ+c=0, a 0 tenglama ham haqiqiy koeffitsentli tenglama uchun chiqarilgan

formula bo’yicha ychiladi. Xususiy holda, diskriminant manfiy bo’lgan haqiqiy koeffitsentli tenglamalarni yechamiz.
Misollar. Tenglamalar yechilsin:
1) 9x²-12x+7=0 ;
2) x²+3=0 ;
3) Z²-(3+2i)Z+6i=0;
Echish: 1) 9x²-12x+7=0;
x_1,2=;
2) x²+3=0 x²=-3x x_1,x2=i;
3) Z ²-(3+2 i)Z+6i=0
Z_1,2=

Chaqirilgan (b=-12<0) (2) formulaga ko’ra

Z₁=3; Z₂=2i
Kompleks koeffitsentli kvadrat tenglamalar uchun ham VIET teoremasi o’z kuchida qoladi: Z₁+ Z₂=- , Z₁Z₂=.
D=b²-4ac<0 bo’lganda haqiqiy koeffitsentli kvadrat tenglamaning ildizlari bir-biriga qo’shma kompleks sonlar bo’ladi. Bordi-yu z=a+bi ko’rinishdagi kompleks son lar bo’ladi. Bordi-yu z=a+bi ko’rinishdagi kompleks son biror kvadrat tenglamaning ildizi bo’lsa, z=a-bi kompleks son ham u tenglamaning ildizi bo’ladi. Agar biror kvadrat tenglamaning bitta kompleks ildizi berilgan bo’lib, bu kvadrat tenglamani topish talab qilinsa, albatta, berilgan ildizga qo’shma kompleks son ham bu tenglamaning ildizi bo’lishligini e’tiborga olib, Viet teoremasidan foydalanish lozim.
Masalan, ildizi bo’lgan kvadrat tenglamani tuzing desa, kompleks son ham izlanayotgan tenglamaning ildizi bo’lishligini e’tiborga olsak.

Q=Z₁Z₂=
bo’lib, ildizlanayotgan kvadrat tenglama bo’ladi.