Iii bob vektorlar matematik obyekt sifatida 1 Vektorlar va ular ustida chiziqli amallar

III BOB VEKTORLAR MATEMATIK OBYEKT SIFATIDA


3.1 Vektorlar va ular ustida chiziqli amallar

Uzunliklari teng, yo‘nalishlari bir xil bo‘lgan barcha kesmalar to‘plami vektor deyiladi. Vektorlar lotin alifbosining kichik harflari bilan ustiga strelka qo‘yilgan holda , , , …, yoki boshi va oxiri bilan berilgan vektorlar , , , ... kabi belgilanadi.

Rasmga diqqat qiling. Nechta vektor berilgan? Rasmda berilgan kesmalar ko‘p bo‘lsa ham, ularning uzunliklari va yo‘nalishlari bir xil bo‘lgani uchun rasmda bitta vektor berilgan:

.
Diqqat! Vektor berilgan bo‘lishi shartlarini eslab qoling:
Vektor berilgan bo‘lishi uchun uning
1) uzunligi va
2) yo‘nalishi
berilgan bo‘lishi ham zaruriy, ham yetarli shart hisoblanadi.
Ko‘pchilik hollarda “vektor berilgan” iborasi o‘rnigi unga ekvivalent “vektor aniqlangan” iborasi ishlatiladi.
Dekart koordinatlari sistemasi kiritilgan tekislikdagi yoki fazodagi har qanday vektor mos ravishda ikkita yoki uchta son bilan aniqlanadi:
(tekislikda) yoki (fazoda).
Mazkur ikkita , yoki uchta , , sonlar vektorning mos ravishda tekislikdagi yoki fazodagi koordinatalari deyiladi. Bu holda vektor koordinatali aniqlangan deyiladi.
Vektor koordinatali berilgan deyishimiz uchun uning koordinatalari ma’lum bo‘lishi zarur va etarli.
Bu vektorlarning uzunliklari
(tekislikda) yoki (fazoda).
formulalar orqali topiladi.
Bu vektorlarning yo‘nalishlari koordinata boshi (yoki ) dan (yoki mos ravishda ) nuqta tomonga yo‘nalish orqali aniqlanadi. Boqacha aytganda,
.
Boshi nuqtada, oxiri nuqtada bo‘lgan vektorning koordinatalari quyidagicha topiladi
.
Boshi va oxiri ustma-ust tushadigan vektor nol-vektor deyiladi va kabi belgilanadi. Nol-vektorning uzunligi nolga teng. Nol-vektorning yo‘nalishi aniqlanmagan, yoki yo‘nalishga ega emas. Nol-vektorning koordinatalari nollardan tashkil topgan bo‘ladi: .

Vektorlar ustida chiziqli amallar. vektorning songa ko‘paytmasi deb,

1) uzunligi hamda
2) yo‘nalishi
bo‘lganda vektorning yo‘nalishi bilan bir xil;
bo‘lganda vektorning yo‘nalishiga qarama-qarshi
bo‘lgan vektorga aytiladi.
vektorning songa ko‘paytmasi

vektor bo‘ladi.
Mustaqil ishlash uchun topshiriq. vektorning songa ko‘paytirishda ushbu , , holatlarni aks ettiruvchi chizmalar chizing.

Parallel to‘g‘ri chiziqlarda yotuvchi vektorlar kollinear vektorlar deyiladi. va vektorlar kollinear bo‘lsa, belgilash ishlatiladi. Kollinear va vektorlar bir xil yo‘nalishga ega bo‘lsa, belgilash, qarama-qarshi yo‘nalishlarga ega bo‘lsa, belgilash ishlatiladi.

va vektorlarning kollinearlik sharti:
.
Mustaqil ishlash uchun topshiriqlar.
bo‘lish shartini yozing.
bo‘lish shartini yozing.
va vektorlarning teng bo‘lish sharti:

Endi vektorlar yig‘indisini aniqlaymiz. Buning uchun berilgan va vektorlar ustida quyidagi amallarni bajaramiz:

Bu vektorlarning boshlarini umumiy nuqtaga keltiramiz;
vektorning oxiridan vektorga parallel to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz;
(3) vektorning oxiridan vektorga parallel to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz;
va vektorlarning umumiy boshidan o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziqlarning kesishgan nuqtasiga yo‘nalgan vektorni orqali belgilaymiz.

Hosil bo‘lgan vektor va vektorlarning yig‘indisi deyiladi va kabi yoziladi.

Bayon qilingan bu usul vektorlarni qo‘shishining parallelogramm usuli deyiladi.
Mustaqil ishlash uchun topshiriqlar.
(1) Vektorlarni qo‘shishining uchburchak usulini bayon qiling va bayon qilganlaringizni chizmada aks ettiring.
(2) Vektorlarni ayirishning uchburchak va parallelogram usullarini bayon qiling va bayon qilganlaringizni chizmada aks ettiring.

Koordinatalari bilan berilgan va vektorlarning yig‘indisi

tenglik orqali topiladi.
vektordan vektorning ayirmasi

tenglik orqali topiladi.
Vektorni songa ko‘paytirish va vektorlarni qo‘shish amallari vektorlar ustida bajariladigan chiziqli amallar hisoblanadi. Bu chiziqli amallar quyidagi xossalarga ega:
. ;
. ;
. ;
. ;
. ;
. ;
. ;
. .
Bayon qilingan xossalardagi barcha vektorlar yoki tekislik, yoki fazoning aynan bittasiga tegishli va ixtiyoriy, sonlar haqiqiy va ixtiyoriy deb olingan.
Vektorning o‘qdagi proeksiyasi. vektor va o‘q berilgan bo‘lsin. vektorni shunday ko‘chiramizki, uning boshi o‘qning boshi bilan ustma-ust tushsin. vektorning oxiridan o‘qqa perpendikulyar tushiramiz. Bu perpendikulyarning asosini orqali belgilaymiz.

Boshi nuqtada, oxiri nuqtada bo‘lgan vektorni orqali belgilaymiz. vektor vektorning o‘qdagi proeksiyasi deyiladi.

vektor va o‘q orasidagi burchak bo‘lsin. U holda ning dagi proeksiyasi

tenglik orqali topiladi. Proeksiyaning o‘qdagi vaziyati (koordinatasi) tenglikdan topiladi.
vektor va , , o‘qlar orasidagi burchaklar mos ravishda , , bo‘lsin. U holda vektorning koordinatalari ushbu
, ,
tengliklar orqali topiladi.
Teskarisi, vektor o‘zining koordinatalari bilan berilgan bo‘lsin: . U holda vektor va , , o‘qlar orasidagi mos , , burchaklar kosinuslari
, ,
tengliklar orqali topiladi. Bu , , kosinuslar vektorning yo‘naltiruvchi kosinuslari deyiladi. Yo‘naltiruvchi kosinuslar quyidagi ajoyib xossaga ega:
.
Mustaqil ishlash uchun topshiriq. tenglikni isbotlang.

Uzunligi ga teng vektor birlik vektor deyiladi. Ravshanki, birlik vektorlar juda ko‘p.

Agar , , lar biror vektorning yo‘naltiruvchi kosinuslari bo‘lsa, vektor vektor yo‘nalishidagi birlik vektor bo‘ladi.
Mos ravishda , , o‘qlarining musbat yo‘nalishida yo‘nalgan , , birlik vektorlar Dekart koordinatalar sistemasining ortlari deyiladi. Har qanday vektor ortlar orqali ushbu

ko‘rinishda yagona usulda yoyiladi.
yozuv vektorning ortlar bo‘yicha yoyilmasi deb ham yuritiladi.
Mustaqil ishlash uchun topshiriq.
1) vektor haqiqatan ham kabi yoyilmaga ega bo‘lishini va bu yoyilma yagona ekanligini isbotlang.
2) Vektorni songa ko‘paytirish, vektorlarni qo‘shish amallarining yoyilma shaklini yozing.