Икки каррали интегралнинг баъзи бир татбиқлари 10. Текис шаклнинг юзи

Икки каррали интегралнинг баъзи бир татбиқлари


1⁰. Текис шаклнинг юзи. Текисликда юзага эга бўлган шакл берил­ган бўлсин. Бу шаклнинг юзи
(1)
бўлади.
(1) тенгликнинг исботи икки каррали интеграл таърифи-дан келиб чиқади.
Мисол. Текисликнинг биринчи чорагида ушбу
, , ( )
чизиқлар билан чегараланган шаклнинг юзи топилсин.
◄ Бу шакл 42-чизмада тасвирланган.

42-чизма
(1) формулага кўра қаралаётган шаклнинг юзи

бўлиб, бунда
.
Интегрални ҳисоблаб, топамиз:
. ►
2⁰. Жисмнинг хажми. 81-маърузада фазодаги жисмнинг хажми тушунчаси ва унинг мавжудлиги шарти баён этилган эди.
Энди жисмнинг хажмини икки каррали интеграл орқали ифода­ла­­ни­шини кўрсатамиз.
фазода Декарт координаталари ситемаси ва унга нисбатан жой­лаш­ган жисмни қарайлик. Бу жисм юқоридан ифодалаган сирт, ён томондан ясовчилари ўқига параллел цилиндрик сирт ҳамда пастдан текислигидаги чегараланган ёпиқ тўплам билан чегара­лан­ган жисм бўлсин. Бунда функцияни да узлуксиз деб қараймиз.
тўпламнинг

бўлаклашларини олайлик. Унда
,

мавжуд бўлади. Ушбу
,
йиғиндилар мос равишда жисмни ичига жойлашган кўпёқ­лик­нинг хажми, жисмни ўз ичига олган кўпёқликнинг хажми бўлиб,

бўлади.
тўпламни турли бўлаклашлари натижасида ҳосил бўлган ва тўпламларнинг чегараланганлигидан , ларнинг мав­жуд бўлиши келиб чиқади.
функция ёпиқ тўпламда узлуксиз. Демак, у да текис узлук­сиз. Унда олинганда ҳам шундай топиладики, тўплам­нинг бўлган ихтиёрий

бўлаклаш учун ҳар бир да ( ) функциянинг тебраниши

тенгсизликни қаноатлантиради. Шуларни эътиборга олиб топамиз:

Демак,
.
Кейинги муносабатдан

бўлиши келиб чиқади. Бу эса жисм хажмга эга бўлиши ва унинг хажми нинг

(2)
эканлигини билдиради. Айни пайтда,
,

ва (2) тенгликка кўра
(3)
бўлади.
(2) ва (3) муносабатлардан
(4)
бўлиши келиб чиқади.
2-мисол. Фазодаги

сирт (параболоид) ҳамда текислик билан чегараланган жисм­нинг хажми топилсин.
◄ Бу жисм 43-чизмада тасвирланган бўлиб, – текис­лик­даги доирадан иборат.

43-чизма
Сиртнинг тенгламасини кўринишда ёзиб, (4) фор­­му­ла­дан фойдаланиб топамиз:
, (5)
бунда
,
(5) интегралда ўзгарувчиларни қуйидагича

алмаштириб ҳисоблаймиз:
, , , ,
.
Демак, жисмнинг хажми га тенг.