Ikki o’zgaruvchili funksiyaning hususiy hosilalari ekstremumi Reja Funksiyaning monotonligi Funksiyaning ekstremumi

6-ta’rif. funksiyaning grafigi oraliqning istalgan nuqtasidan unga o’tkazilgan urinmadan yuqorida yotsa, funksiya grafigi shu oraliqda botiq deyiladi.
7-ta’rif. Funksiya grafigining qavariq qismini, botiq qismidan ajratuvchi nuqta egilishnuqtasi deyiladi.
Funksiya grafigining qavariq yoki botiq bo’lishining yetarli shartlari:
1) oraliqda differensiallanuvchi funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi manfiy, ya’ni bo’lsa, bu oraliqda funksiya grafigi qavariq bo’ladi;
2) oraliqda differensiallanuvchi funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi musbat, ya’ni bo’lsa, bu oraliqda funksiya grafigi botiq bo’ladi.
va mavjud bo’lmagan nuqtalarga 2-tur kritik nuqtalar deyiladi.
Egilish nuqtalari mavjud bo’lishining yetarli sharti. nuqta funksiya uchun ikkinchi tur kritik nuqta bo’lsa va ikkinchi tartibli hosila bu nuqtadan o’tishda ishorasni o’zgartirsa, abstsissali nuqta egilish nuqtasi bo’ladi.
Shunday qilib, funksiya grafigining qavariqlik va botiqlik oraliqlarini, egilish nuqtalarini to’ish uchun, oldin funksiya aniqlanish sohasini ikkinchi tur kritik nuqtalar bilan oraliqlarga bo’lish va bu oraliqlarda ikkinchi tartibli hosila ishorasini tekshirish kerak. Keyin yetarli shartlardan foydalanib, qavariqlik, botiqlik oraliqlari va egilish nuqtalari aniqlanadi.
5. Funksiya grafigining asimptotalari.
8-ta’rif. funksiya grafigidagi nuqta shu grafik bo’ylab cheksiz uzoqlashganda, undan biror to’g’ri chiziqqacha masofa nolga intilsa, bu to’g’ri chiziq funksiya grafigining asimptotasi deyiladi.
bo’lsa, to’g’ri chiziq funksiya grafigining
vertikal asimptotasi bo’ladi.

yoki

limitlar mavjud bo’lsa, to’g’ri chiziq funksiya grafigining og’ma asimptotasi bo’ladi. bo’lsa, gorizantal asimptota bo’ladi.
6-misol. Gauss egri chizig’i deb ataluvchi funksiya grafigining qavariqlik, botiqlik oraliqlarini va egilish nuqtalarini aniqlang.
Yechish. Birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarni to’amiz:

Ikkinchi tartibli hosilani nolga tenglashtirib, ikkinchi tur kritik nuqtalarni to’amiz:

Bular ikkinchi tur kritik nuqtalar bo’lib, sonlar o’qini

oraliqlarga ajratadi.
oraliqlarda bo’lib,
oraliqda bo’ladi.
Demak, oraliqlarda funksiya grafigi botiq,
oraliqda funksiya grafigi qavariq bo’lib,
nuqtadan o’tishda o’z ishorasini musbatdan manfiyga, nuqtadan o’tishda manfiydan musbatga o’zgartiradi. Bu ikkala holda ham egilish bo’ladi:

Yuqoridagilarga asosan funksiya grafigini yasaymiz.

1-chizma