Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi fazoda va to‘plamlar berilgan bo‘lsin. 1-ta’rif

MAVZU: KO’P O’ZGARUVCHILI FUNKSIYALAR. IKKI O’ZGARUVCHILI FUNKSIYALAR ANIQLANISH VA O’ZGARISH SOHALARI. KARRALI VA TAKRORIY LIMITLAR. XUSUSIY XOSILALAR VA TO’LA DIFFERENSIAL

Reja:

1. 
   Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning limiti, uzluksizligi.
   
2. 
   Funksiyaning xususiy hosilalari Funksiyaning diffrensiali.
   
3. 
   Yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallar.
   
4. 
   Bir necha o‘zgaruvchi funksiyasining ekstremumlari.
   

Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi
fazoda va to‘plamlar berilgan bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar to‘plamning har bir haqiqiy sonlar juftiga biror qonun yoki qoida bilan to‘plamdagi yagona haqiqiy soni mos qo‘yilgan bo‘lsa, to‘plamda ikki o‘zgaruvchining funksiyasi aniqlangan deyiladi.
Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi
,…
kabi belgilanadi. Bu yerda va argumentlar (yoki erkli o‘zgaruvchilar), ikki va o‘zgaruvchining funksiyasi (yoki bog‘liq o‘zgaruvchi) deb ataladi. to‘plamga funksiyaning aniqlanish sohasi, to‘plamga uning qiymatlar sohasi (yoki o‘zgarish sohasi) deyiladi.
Masalan. Perimetri ga teng uchburchakning ikki tomoni va ga teng. Uchburchakning yuzasini va orqali ifodalaymiz. Uchburchakning uchinchi tomoni bo‘lsin deymiz. U holda bo‘ladi. Bundan
Uchburchakning yuzasini Geron formulasi bilan topamiz:
bu yerda
va ni Geron formulasiga qo‘yamiz:

yoki
.
Geometrik nuqtai-nazardan to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida haqiqiy sonlarning har bir juftiga Oxy tekislikning yagona nuqtasi mos keladi. Shu sababli ikki o‘zgaruvchining funksiyasini nuqtaning funksiyasi deb qarash va yozuvni kabi yozish mumkin. Bu holda ikki o‘zgaruvchi funksiyasining aniqlanish sohasi Oxy tekislik nuqtalarining biror to‘plamidan yoki butun tekislikdan iborat bo‘ladi.
Argumentlarning tayin va qiymatlarida (yoki nuqtada) ( funksiyaning qabul qiladigan xususiy qiymati yoki (yoki ) deb yoziladi.
Misollar. 1. funksiyaning
nuqtalardagi xususiy qiymatlarini topamiz. Buning uchun funksiyaga bu nuqtalarning koordinatalarini qo‘yamiz:


funksiya jadval, grafik va analitik usullarda berilish mumkin.
funksiyaning jadval usuldagi berilishida jadvalning birinchi satriga o‘zgaruvchining qiymatlari, chap ustuniga o‘zgaruvchining qiymatlari va qolgan kataklarga funksiyaning mos qiymatlari qo‘yiladi. Bunda funksiyaning va ning berilgan qiymatlariga mos qiymati bu qiymatlar yotgan satr va ustunlarning kesishmasida joylashadi. Masalan. 1-jadvalda
Grafik usuldagi berilishida
funksiyaning geometrik tasviri uch o‘lchovli
fazodagi sirtdan iborat bo‘ladi. Masalan, 1-rasmda funksiyaning grafigi tasvirlangan.
Analitik usulda ikki o‘zgaruvchining funksiyasi oshkor ko‘rinishda formula bilan yoki oshkormas ko‘rinishda tenglik bilan berilishi mumkin. Funksiya oskormas ko‘rinishda berilganda tenglikdagi har bir sonlar juftiga yagona sonning mos qo‘yilishi talab etiladi.
Analitik usulda berilganda funksiyaning aniqlanish sohasi funksiyani aniqlovchi formula ma’noga ega bo‘ladigan barcha nuqtalar to‘plamidan iborat bo‘ladi.
Misollar. funksiya shartda aniqlanmagan. Demak, . Geometrik nuqtai- nazardan shart funksiyaning aniqlanish sohasi ikkita yarim tekislikdan tashkil topishini bildiradi. Bunda birinchi yarim tekislik to‘g‘ri chiziqdan yuqorida, ikkinchisi bu to‘g‘ri chiziqdan pastda yotadi (2-rasm).

2. Funksiya shartda aniqlangan. Bu shart shartga teng kuchli. Funksiya aniqlanish sohasining chegaraviy chiziqlari bo‘lgan va aylanalar ham bu sohaga tegishli. Demak, funksiyaning aniqlanish sohasi markazi koordinatalar boshida bo‘lgan, radiuslari mos ravishda va ga teng aylanalar orasida va bu aylanalarda yotuvchi barcha nuqtalardan iborat bo‘ladi (3-rasm).