Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi fazoda va to‘plamlar berilgan bo‘lsin. 1-ta’rif

Yuqori tartibli xususiy hosilalar va differensiallar
nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan funksiya shu
atrofda xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Ular birinchi tartibli xususiy hosilalar deyiladi.
Bu hosilalar va o‘zgaruvchilarning funksiyalarini ifodalaydi. Bu funksiyalar xususiy hosilalarga ega bo‘lishi mumkin. Agar bu hosilalar mavjud bo‘lsa, ularga ikkinchi tartibli xususiy hosilalar deyiladi va quyidagicha belgilanadi:




Uchinchi, to‘rtinchi va umuman tartibli xususiy hosilalar shu kabi aniqlanadi.
va hosilalarga ikkinchi tartibli aralash xususiy hosilalar deyiladi.
7-teorema. Agar funksiyaning ikkinchi tartibli aralash xususiy hosilalari nuqtaning biror atrofida mavjud va shu nuqtada uzluksiz bo‘lsa,
u holda ular shu nuqtada teng bo‘ladi, ya’ni
Bunday teorema istalgan yuqori tartibli xususiy hosilalar uchun ham o‘rinli
bo‘ladi. Masalan, uzluksiz uchinchi tartibli xususiy hosilalar uchun

tenglik bajariladi.
funksiyaning nuqtadagi to‘liq differensiali ga birinchi tartibli to‘liq differensial deyiladi.
nuqtada funksiya ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. U holda ikkinchi tartibli to‘liq differensial kabi aniqlanadi.
Uni topamiz:



Bundan
(16)
bu yerda
(16) formula simvolik ko‘rinishda

kabi yoziladi.

Xulosa.
Men ushbu mavzuni o’zlashtirib Ko’p o’zgaruvchili funksiya, xususiy xosilalar va to’la differensial mavzusi haqida ko’plab ma’lumotlarga ega bo’ldim.
Erkli o’zgaruvchi, no’malum funksiya va uning hosilalarini (differensiallarini) bog’lovchi tenglamaga differensial tenglama deyiladi.
No’malum funksiyasi bitta o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgan differensial tenglama oddiy differensial tenglama deb ataladi.
No’malum funksiyasi ikkita va undan ortiq o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lgan differensial tenglama xususiy hosilali differensial tenglama deb ataladi.
Differensial tenglamaga kiruvchi hosilalarning (differensiallarning) eng yuqori tartibi differensial tenglamaning tartibi deyiladi.
Masalan. tenglama ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama, tenglama birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama bo’ladi. Tekislikning har bir nuqtasiga tenglik bajariladigan qilib kesma qo’yilgan qismi differensial tenglamaning yo’nalishlar maydoni deyiladi. Shunday qilib, differensial tenglamaga uning yo’nalishlar maydoni mos keladi. Bu jumla differensial tenglamaning geometrik ma’nosini bildiradi.
Shunindek, differensial tenglamani yechish masalasining geometrik talqini quyidagicha ifodalanishi mumkin: integral egri chiziq shunday o’tkazilsinki, uning har bir nuqtasidagi urinmaning yo’nalishi yo’nalishlar maydonining shu nuqtadagi kesmasi yo’nalishi bilan bir xil bo’lsin.
Differensial tenglamada uning umumiy yechimidan ixtiyoriy o’zgarmasning hech bir qiymatida hosil qilinishi mumkin bo’lmagan yechimga maxsus yechim deyiladi.