Икки тўгри чизик орасидаги бурчак

Ikkinchi tartibli sirtlar xakida tushuncha. Ikkinchi tartibli sirtning umumiy tenglamasi.

Dekart koordinatalar sistemasida koordinatalari (28.1) tenglamani kanoatlantiruvchi nuktalarning geometrik urni sirt deyiladi. Sirtning bu taʼrifa umumiy bo‘lib, (28.1) tenglama chekli sondagi nuktalar tuplamini, cheksiz kup nuktalar tuplamini yoki umuman nuktalar tuplamini ifodalashi mumkin. Masalan: tenglama bitta (0,2,1) nuktani ifodalaydi, tenglama esa umuman nuktani ifodalamaydi. Demak x, y, z katnashgan xar kanday tenglama sirtni ifodalayvermas ekan. Endi sirt tenglamasini katiy taʼrifini beramiz:

(28.2) tenglama biror S sirtning tenglamasi deyiladi, agar shu sirtda yotgan xar bir nuktaning koordinatalari (28.1) tenglamani kanoatlantirsa va sirtda yotmagan nuktaning koordinatalari (28.1) tenglamani kanoatlantirmasa.
Fazoda sirt tenglamasi berilgan bo‘lsa, sirt berilgan deyiladi. Sirtlar uchun xam kuyidagi ikki masala yechiladi:

1. 
   Fazoda sirtning umumiy xossasidan foydalanib, uning tenglamasini tuzish.
   
2. 
   Fazoda biror sirt tenglamasi bilan berilgan bo‘lsa, shu tenglama bilan berilgan sirtni yasash.
   

Masala: C (a;b;c) nuktadan barobar uzoklikda turgan nuktalar geometrik urning tenglamasini tuzing.

Yechish: Masalada tenglamasi tuzilishi talab kilinayotgan sirt bu, ravshanki – sferadir. Fzoda Dekart koordinata sistemasini karaymiz. Sirt ustidan koordinatalari o‘zgaruvchi nukta olamiz, masala shartiga kura uzgarmas yoki

yoki
(28.3)
z




y
o
x
(28.3) tenglama sferaning kanonik tenglama C (a;b;c) uning markazi va R radiusi deyiladi. Xsusiy xolda bo‘lsa (28.3) kuyidagi (28.4) kurinishni oladi.
(28.4) tenglama markazi koordinata boshida va radiusi R bo‘lgan sferani ifodalaydi.
kuyidagi (28.5) tenglama bilan ifodalanadigan sirtda ikkinchi tartibli sirt deyiladi, bu yerda .
(28.5) tenglama ikkinchi tartibli sirtning umumiy tenglamasi deyiladi. Biz bo‘lgan xolni, yaʼni (28.6) tenglamaga karaymiz. Ravshanki (28.3) tenglamada kavslarni ochib chksak (28.6) tenglama uxshash tenglama xosil bo‘ladi. Demak sfera ikkinchi tartibli sirt ekan.
Takidlaymizki (28.6) tenglamada A = V = S bo‘lsa, tenglama sferani ifodalaydi. Umuman aytganda barcha ikkinchi tartibli sirtlarni biror xossasiga asoslanib tenglamasini chikarib bo‘lmaydi. Kupincha analitik geometriyani ikkinchi masalasini yechishga, berilga tenglamakga asosan uni yasashga to‘gri keladi. Bu masala kupincha parallel kesimlar usuli deb ataluvchi usul orkali yechiladi. Bu usulning moxiyati kuyidagidan iborat: sirt koordinata tekisliklari x = 0, y = 0, z = 0 va ularga parallel bo‘lgan tekisliklar bilan kesishi tekshiriladi. Sungra kesish natijasida xosil bo‘lgan egri chiziklarni taxlil kilib sirtning uzi yasaladi. Masalan: kandaydir nomaʼlum sirt berilgan, uni x = 0, y = 0, z = 0 tekisliklar bilan kesish natijasida birxil radiusni aylana xosil bo‘lsin.
Ravshanki bunday xossaga ega bo‘lgan sirt sferadir.

Aylanma sirt.

Ikkinchi tartibli sirtlar orasida aylanma sirtlar uchraydi. Masalan: aylanani OX uki atrofida aylantirsak sfera xosil bo‘ladi.

Endi aylanma sirtlar xakida tushunchalar bilan tanishamiz: UOZ tekislikda biror L chizik (r – 40) F (y;z) = 0 tenglama bilan berilgan bo‘lsin. L chizikning OZ uk atrofida aylanashidan xosil bo‘lgan sirt tenglamasini tuzamiz. Kulaylik uchun L chizikning xamma nuktalari uchun bo‘lsin. nuktaizlanayotgan aylanma sirtning ixtiyoriy nuktasi bo‘lsin. nuktasi L chizikning nuktasini aylanish vaktidagi biror xolati deb karash mumkin N nuktaOZ uki atrofida aylanganda markazi nuktada bo‘lim radiusi U ga teng bo‘lgan aylana xosil bo‘ladi, bu aylana xamma vakt XOU tekislikka parallel tekislikda yotadi. Shuning uchun M va N nuktalarning applikatalari bir xil, yaʼni Z=z bo‘ladi. , bo‘lganidan
bo‘lganidan

Z va U larning ifodalarini L chizikning tenglamasi F (y;z) = 0 ga ko‘ysak xosil bo‘ladi. Bu tenglama aylanma sirt tenglamasidir. Agar L chizikni xamma nuktalari uchun bo‘lmasa, u xolda bo‘ladi, bu xolda PN = - Y, . Bu xolda aylanma sirt tenglamasi.

bo‘ladi.

Ikkala xolni birlashtirsak

tenglama xosil bo‘ladi.

Demak YOZ tekislikdagi L chizikniOZ uki atrofida aylanishidan xosil bo‘lgan aylanma sirt tenglamasini tuzish uchun chizik tenglamasidagi u ni bilan almashtirish kerak ekan.

Agar L chiziknimos ravishda OX va OU uklari atrofida aylantirishdan xosil bo‘lgan aylanma sirt tenglamasini tuzsak mos ravishda va tenglamalar xosil bo‘ladi.
Masala: YOZ tekislikda joylashgan: 1) ellips, 2) giperbtla, 3) parabolalarning OZ uk atrofida aylanishidan xosil bo‘lgan aylanma sirtlarning tenglamalari tuzilsin.
Yechish: chiziklar YOZ tekislikda berilagn bo‘lib, OZ uki atrofida aylanishidan xosil bo‘lgan sirtlarni tenglamalarini tuzish kerakligida u ni , yaʼni ni ga almashtiramiz:
, , .

Xosil bo‘lgan tenglamalar bilan ifodalanadigan aylanma sirtlarga mos ravishda aylanma ellipsoid, aylanma giperboloid va aylanma paraboloid deb aytiladt.

Eng avvalo asosiy tushuncha va teoremalarni bayon etamiz. Fazoda ikki to’g’ri chiziq bir tekislikda yotsa va kesishmasa, ular parallel to’g’ri chiziqlar deyiladi. Agar to’g’ri chiziq bilan tekislik kesishmasa, ular parallel deyiladi.