Ikkinchi tartibli chiziq tenglamasini birorta

Ellips

Ikkinchi tartibli chiziq tenglamasini birorta Oxy dekart

koordinata sistemasida

ko'rinishida yozish mumkin bo‘lsa, u ellips deb ataladi. Bu yerda koeffitsientlar a≥b> 0 munosabatni qanoatlantiradi.
Bu tenglamani o'rganish natijasida ellipsni chizamiz va uning xossalarini keltirib chiqaramiz. Tenglamadan ko'rinib turibdiki x ,y o'zgaruvchilar
-a ≤ x ≤ a, -b ≤ x ≤ b tengsizliklani qanoatlantiradi. Abssissa
o'qida yotuvchi , nuqtalar ellipsning fokuslari,
= 0 tenglamalar bilan aniqlanuvchi to'g'ri chiziqlar ellipsning direktrisalari deb ataladi. Bu yerda , e= bo'lib , e soni ellipsning ekssentrisiteti deyiladi. Tenglamadan ko'rinib turibdiki, ellips koordinata o'qlariga nisbatan sim-metrik joylashgan bo'lib , koordinata boshi uning simmetriya markazidir.

Ellips xossalari:

1. E llipsning ixtiyoriy nuqtasidan
uning fokuslarigacha bo'lgan m asofalar
yig'indisi o'zgarm as va 2 a ga tengdir.
Bu x o s s a b e v o s it a h is o b la s h
y o rd a m id a гх + г 7 = 2 а ten g lik n i
tekshirish bilan isbotlanadi.
2. E llipsning ixtiyoriy nuqtasidan
u n in g f o k u s la r ig a c h a b o 'lg a n
m asofalarn in g m os direktrisalargacha b o'lgan m asofalarga n isbati
o'zgarm as va esoniga tengdir.
Bu xossa bevosita — = —— = e ten glik ni tekshirish yord am ida
isbotlanadi.
+ 2 аех + а2 =\хе + а\

d\ = - х -----= х + — = ------
е-----------е	е
а	а	хе + а

2. Ellipsning geom etrik aniqlanishi.
Tekislikda ikkita nuqta berilgan b o ‘lsa, bu nuqtalargacha b o ig a n
m asofalarining y ig in d isi o'zgarm as son ga ten g bo'ladigan n uqtalam ing
geom etrik o 'm i ellips b o ia d i.
Isbot. Tekislikda F \F 2 nuqtalar berilgan. Biz tekislikning nuqtasidan
bu nuqtalargacha b o ig a n m asofalarni m os ravishda Г\,Г-у ko'rinishda
belgilab,
tenglikni qanoatlantiruvchi nuqtalarinng geom etrik o 'm in i aniqlashim iz
kerak. B erilgan n uq talar orasid agi m a so fa n i 2c b ilan b elg ila sa k ,
/',+ /*, > 2 с tengsizlikdan a > С m unosabat kelib chiqadi. Tekislikda
dekart koordinatalar sistem asini quyidagicha kiritam iz. Berilgan F\ ,F->
nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziqni abssissa o'q i sifatida olam iz, unda
m usbat yo'nalish F\ nuqtadan F2 nuqtaga qarab yo'n algan b o ia d i.
K oordinata boshini F \,F 2 nuqtalam ing o'rtasiga joylashtirib, ordinata
o 'q i sifatida abssissa o'q iga p erp en d ik u lyar ixtiyoriy o 'q n i o la m iz .
M asofalar uchun
rI + r2 = const = 2 a
4 (x + c )2 + y 2 = 2 a - 4 ( x - c ) 2 + y 2
tenglikni hosil qilam iz. Bu tenglikning ikkala tom on in i kvadratga oshirib,
hadlam i ixcham lashtirib, yana qayta kvadratga oshiram iz va quyidagi,
tenglam ani hosil qilam iz. Bu yerda b2 = a 2 —С2 belgilash kiritilgan.
3. Bizga / to'g'ri chiziq va unga tegishli bo'lm agan nuqta /b e r ilg a n
bo'lsa, tekislikda berilgan nuqtagacha bo'lgan m asofasining berilgan to'g'ri
chiziqqacha bo'lgan m asofasiga nisbati o'zgarm as birdan kichik esoniga
teng bo'lgan nuqtalam ing geom etrik o 'm i ellips bo'ladi.
Bu faktni isbotlash u ch u n berilgan / nuqtadan to'g'ri ch iziq q a
perpendikulyar to'g'ri chiziq o'tkazib, uni abssissa o'qi sifatida olam iz.
Natijada abssissa o'qini /n u q ta ikki qism ga ajratadi. Berilgan /n u q ta d a n
to'g'ri chiziqqacha bo'lgan m asofaning esoniga ko'paytm asini pbilan
belgilab, quyidagi tengliklar bilan