Ikkinchi tartibli egri chiziqlar. Aylana, ellips, giperbola, parabola va ularning kanonik tenglamalari. Aylana

IKKINCHI TARTIBLI EGRI CHIZIQLAR.

Aylana, ellips, giperbola, parabola va ularning kanonik tenglamalari.

AYLANA
Ta’rif. Markaz deb ataluvchi M (a; b) nuqtadan bir xil uzoqlikda yotuvchi nuqtalarning geometrik o’rniga aylana deyiladi.
A(x;y) nuqta aylanaga tegishli ihtiyoriy nuqta bo’lsa, markazi M (a; b) nuqtada va radiusi R ga teng bo’lgan aylananing normal(kanonik) tenglamasi quyidagicha (x-a)²+(у-b)²=R² bo’ladi. Agar aylananing markazi koordinatalar boshida bo’lsa, a=0, b=0 bo’lib, uning tenglamasi x²+у²=R² bo’ladi. Aylana tenglamasidagi qavslarni ochsak x²+у²-2ax-2bу+a²+b²-R²=0 tenglama hosil bo’ladi.
Aylanaga doir namunaviy misolni yechimi.


Misol 1. Markazi nuqtada, radiusi bo’lgan aylana tenglamasini tuzing va nuqta aylanada yotish, yotmasligini tekshiring.
Yechish: Markazi nuqtada, radiusi R bo’lgan aylana tenglamsiga asosan
Bu tenglamani quyidagicha ham yozish mumkin

.
nuqtani koordinatalrini aylana tenglamaga qo’yamiz.

Demak, nuqta aylana ustida yotadi.



ELLIPS

Ta’rif. Ellips deb, uning ixtiyoriy nuqtasidan F₁ va F₂ fokuslari deb ataluvchi ikki nuqtasigacha bo’lgan masofalar yig’indisi o’zgarmas bo’lgan nuqtalarning to’plamiga aytiladi.

M(x; у) nuqta ellipsga tegishli ixtiyoriy nuqta bo’lsin. F₁ va F₂ fokuslar orasidagi masofa 2s , M(x; у) nuqtadan F₁ va F₂ fokuslargacha bo’lgan masofalar yig’indisi 2a bo’lsa, ellipsning sodda (kanonik) tenglamasi x²/a²+у²/b²=1 bo’ladi, bu erda b²=a²-c², a - ellipsning katta yarim o’qi, b -ellipsning kichik yarim o’qi deyiladi.
Agar a>b bo’lsa, ellipsning fokuslari Ox o’qida joylashgan bo’lib, uning koordinatalari F₁(-s; 0) va F₂(s; 0) nuqtalarda c² = a²-b² bo’ladi. Agar a1(0; -c) va F₂(0; c) nuqtalarda c²= b²-a² bo’ladi. =c/a ellipsning ekssentrisiteti deyiladi. Ellipsning M(x; y) nuqtasidan fokuslargacha bo’lgan masofalar r=a-Ex, r₁=a+Ex formulalar bilan aniqlanadi. r va r₁ masofalar fokal radius - vektorlari deyiladi.

Ellipsga doir namunaviy misolni yechimi.
Misol: ellipsni yarim o’qlarini, fokuslarini koordinatalarini, ekssentrisitetini topib shaklini chizing.
Yechish. 225ga tenglikni ikkala tomonini bo’lib, ellipsni kanonik tenglamasini hosil qilamiz . Bundan , , bo’lganligidan ellipsni fokuslari Ox o’qida yotadi, katta yarim o’qi a va , , fokuslarini koordinatalari bo’ladi. Ellipsni ekssentrisiteti , .



GIPERBOLA.
Ta’rif. Giperbola deb uning ixtiyoriy nuqtasidan F₁ va F₂ fokuslari deb ataluvchi nuqtalarigacha bo’lgan masofalar ayirmasi o’zgarmas sondan iborat bo’lgan nuqtalar to’plamiga aytiladi.
Giperbolaning soda (kanonik) tenglamasi x²/a²-у²/b²=1 bo’ladi, bu erda b²=c²-a², a-ni giperbolaning haqiqiy yarim o’qi; b- giperbolaning mavhum yarim o’qi deyiladi. У=(b/a)x to’g’ri chiziqlarni giperbolaning asimptotalari deb ataladi. E=2c/2a=c/a>1 nisbatni giperbolaning eksentrisiteti deyiladi.
Giperbolaga doir namunaviy misol.

Misol. giperbolani haqiqiy va mavxum yarim o’qlarini, fokuslarini koordinatalarini, asimptotalarini, ekssentrisitetini topib shaklini chizing.

Yechish: bo’lganligidan, xaqiqiy yarim o’qi , mavxum yarim o’qi bo’ladi. Fokusini koordinatalari , , bo’lib, Ox o’qida yotadi. Asimptotalari , ekssentrisiteti .


PARABOLA

Ta’rif. Parabola deb, uning ixtiyoriy nuqtasidan F fokus deb ataluvchi nuqtasigacha va direktrissa deb ataluvchi to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofalari teng bo’lgan nuqtalar to’plamiga aytiladi. Parabolani sodda tenglamasi у²=2rx (OX-o’qiga nisbatan simmetrik) , fokusini koordinatasi . x=-p/2 to’g’ri chiziq direktrissaci.

Parabolaga doir namunaviy misol.

Misol: parabolani fokusini koordinatalarini topib, direktrisasini tenglamasini tuzing.

Yechish: , , ga asosan , , - fokusini koordinatasi diraktrisasini tenglamasini bo’ladi.