Ikkinchi tartibli sirtning doiraviy kesimlari Umuman olganda Ikkinchi

Ikkinchi tartibli sirtning doiraviy kesimlari
Umuman olganda Ikkinchi tartibli sirtlarni tekisliklar bilan kesganda ikkinchi tartibli egri chiziq paydo bo’ladi.Kesuvchi tekislikning egriligini tegishli darajada o’zgartieish natijasida, uning kesimida aylana hosil bo’ladigan holatga keltirish mumkin.Bu holat sirtning doiraviy kesimi deb ataladi.Doira yoki aylana ellipsning xususiy holi hisoblanadi.Keyinchalik,hech bo’lmaganda asosiy kesimlarining yoki unga parallel bo’lgan kesimlarning bittasi ellips bo’ladigan ikkinchi tartibli sirtlargina doiraviy kesimga ega bo’ladi.Demak, giperbolik paraboloid,giperbolik ham parabolik silindirlardan boshqa barcha ikkinchi tartibli sirtlar doiraviy kesimga ega.Ikkinchi tartibli sirtlarning parallel kesimlari o’zaro o’xshash bo’ladi.Biz koordinata boshi orqali o’tuvchi kesmani olib qaraymiz.Agar koordinata boshidan o’tuvchi qanday bo’lmasin bir tekislik kesmada aylanani hosil qilsa, unga parallel bo’lgan boshqa kesmalar ham aylanadan iborat bo’ladi.
Misol tariqasida uch o’lchamli ellipsoidni olib qaraylik:
(1)
Bunda .
Bu ellipsoidni uning …. O’qi b orqali o’tadigan tekislik bilan kesamiz.Agar kesuvchi tekislik tekisligi bilan ….. unda kesimda yarim o’qi b va c bo’lgan ellips paydo bo’lishini,kesuvchi tekislik tekislgi bilan ….. unda yarim o’qlari b va a bo’lgan ellips paydo bo’lishini ko’rishimiz mumkin.Bu ikki holatda ham ellipslarning bir yarim o’qi b ikkinchi yarim o’qi kesishuvchi tekislikning burilishiga bog’liq hamda o’zgarishi ya’ni c dan a gacha o’zgarishini anglaymiz.
Demak, bu o’zgarishning bir holatida yarim o’q b ga teng bo’lishi mumkin.Bu holatda kesmadagi ellipsning ikki o’qi ham bir xil bo’ladi va aylanaga aylanadi.
Bundan kesuvchi tekislik ellipsoid bilan kesishib,kesimda aylana hosil bo’ladigan holatni topishimiz mumkin.Agar kesuvchi tekislikning kesimida aylanani hosil qiladigan bir holatini topsak,unda unga parallel bo’lgan boshqa tekisliklar ellipsoid bilan kesishganda ularning kesimida aylana hosil bo’ladi.Bunda ikkinchi tartibli sirtlarning tekislik bilan kesishganda ularning kesimida aylanani paydo qiladigan kesimlar sirtning doiraviy kesimlari deb ataladi.
Buni aniqlagandan keyin ellipsoidni uning markazi orqali o’tadigan ba’zi bir tekislik bilan kesaylik.Kesimda aylana hosil bo’ldi deylik.UNINg radiusini r orqali belgilaylik.Bu aylanalarni markazi koordinata boshida bo’lgan va radiusi r ga teng bo’lgan sirtida yotadi deb qaraylik.Shar sirtining formulasi:
(2)
Yoki (3)
Deb yozish mumkin.
Endi (3) tenglamani (1) tenglamadan hadma-had ayiramiz hamda quyidagi tenglika ega bo’lamiz:
(4)
Endi (3) tenglamani (1) tenglamadan hadma-had olamiz va quyidagiga ega bo’lamiz:

(5)

(5’)

(5’’)
Shart bo’yicha a b, b c. demak, a b c. Shu boiz keltirilgan (5) va (5’’) tenglamalari faraz qo’sh tenglamalarni anglatadi, (5’) bo’lsa ikki ko’paytiruvchilarga ajiraladi:

Bularning har qaysisi ellipsoidning o’rtadagi o’qi (ya’ni OY o’qi) orqali o’tuvchi tekisliknin anglatadi.

Oldin ko’rib chiqqaninmizdek, bu ikki tekislikga palallel bo’lgan boshqa hamma tegislikler ellipsoid bilan kesilib, kesimda (haqiqiy yoki faraz) aylanani paydo qiladi. Bu tekisliklarning tenglamalarini biz quyidagicha ko’rishimiz mumkin:

- =k
Va (7)

- =l

Bunda k va l-parallel tekisliklar dastasining parametrlari bo’lib xisoblanadi. Bu doira kesim tekislikleri ellipsoidting markazidan uzoqlashgan sari kesim doiralari (aylanalari) kichiklasib boradi va kesim tekisligi ellipsoidga urungan paytda ular to’chkalarga aylanib ketadi. Bu to’chkalar doiralanish to’chkalari yoki ombilik to’chkalari deb nomlanadi. (bu so’z fransuzcha –ombilik, lotincha umbilicus-“kindik” so’zidan kelib chiqqan).

Ellipsoidda bunday to’rt ombilik to’chkasi bor.
Endi bir g’ovakli ellipslik giperboloidni ko’rib chiqamiz:

+ - = 1 (8)

Bu xolatda a b c deb shart qilib olamiz . Agar 2a o’qi orqali o’tadigan kesuvchi tekislik uchun yuqoridagi fikirlarni qo’llasak, ellipslik giperboloid da doira kesimlerga ega ekanligini ko’rsatish mumkin bo’ladi.
Agar giperboloidning tenhlamasi (8) dan sharning (sferaning) tenglamasi (3)ni olsak, unda kelib chiqqan konusning tenglamasi shu turga ega bo’ladi

( )x2 +( )y2-( )z2=0 (9)

Bunda da uch o’qli ellipsoid xolatdagi kabi r=a , r=b deb qabul qilsak, unda biz doira kesimlarning tekisliklarini topamiz:

( )y2 - ( )z2=0 (10)

( )x2 - ( )z2=0 (11)

Shu sababli, biz a b c ekanligini esga olsak, unda oqirgi tenglama (11) faraz qo’sh tekislikni anglatadi, birinchi tenglama bo’lsa (10) kesiluvchi qo’sh tekislikni anglatadi. Xosil bo’lgan (10) tenglamani ikkiga ajratib yozish mumkin:

(12)

Bu ellipslik giperboloidda doira kesimlarga ega bo’lgan ikki sistema tekislik bor ekanligini anglatadi. Bu tekisliklar dastasining tenglamalari quyidagi shakilga ega bo’ladi:

+ =k
Va (13)
- =l

Ikki g’ovakli ellipslik giperboloid va ellipslik konus uchun ularning doira kesimlaridan iborat tekisliklarning tenglamalari ham shunday bo’ladiganligini ko’rsatish mumkin. Ellipslik tsilindrning tenlamasini

+ = 1
ko’rinishda ko’rsatsak, unda uning doira kesim tekisliklari
+z=k
Va (14)
-z=l

tenlamalar bilan ifodalanadi.

Ellipslik paraboloid
+ = 2z
uchun bu tekisliklar
y +z=k
(15)
y -z=l

tenlamalar bilan ifodalanadi. Bularni xosil qilishga biz to’xtalib o’tirmaymiz.

Mashqlar
1. Berilgan
+ + = 1

Ellipsoidning asosiy kesimlarini va tepalarining koordinotalarini toping.

2. 1-mashqda berilgan ellipsoidni z= 3, z= 2; y= 2; y= 3; x= 4 tekisliklari bilan kesilganda paydo bo’ladigan kesimlarni aniqlang.
3. Quyidagi

+ + = 1
tenglamasi bilan berilgan yuzaning kesimlarini toping. Bu qanday yuza? Uning chizilmasini shizing bu yuzani z=1 tekisligi bilan kesganda, kesimda qanday shakil kelib chiqishini tekshiring.

4.Berilgan y+6=0 tekisligi berilgan

- = 6z

giperbolalik paraboloidning parabola boyicha kesib o’tishini tekshiring. Parabolaning parametrini va tepasini aniqlang

5.uchta o’qli ellipsoidning z=0 kesimi - = 1 ellipsoiddan iborat. Ellipsoid M(2;1;23 ) nuqtasidan o’tadi
6. Ellipslik paraboloid berilgan: - = 2y
Tenglamasi 2x-2y-z-10=0 bo’lgan tekislik berilgan paraboloidga urnishini isbotlang va bu urinish nuqtasining koordinatalarini aniqlang.
Ko’rsatma. Tekislik ikkinchi tartibli yuza bilan uringanda u yuza bilan ajiratilgan ikkiinchi tartibli egrilik bo’yicha kesilishadi.Shu bois masalaning qo’yilgan birinchi savoliga javob berish uchun tekislik bilan yuzaning tenglamasidan belgisizlarning bittasini yo’q qilish kerak. Masalaning ikkinchi savoliga javob berish uchun tabiliwi kerak uchunchi tenglamani tekislik bilan yuzaning urunish shartidan keltirib chiqaramiz.
7. Berilgan
5x+2z+5=0
tekisligi

+ - = -1
tenglamasi bilan berilgan yoki g’ovakli giperboloidga urunadigan isbotlang va urunish nuqtasining koordinatalarini hisoblang.

8. Berilgan
4x-3y+12z-54=0
tekisligi
+ + = 1
Ellipsoidga urinadiganligini isbotlang va urinish nuqtasining koordinatalarini aniqlang.