Иккинчи тур эгри чизиқли интеграл

2-теорема. Агар функция да узлуксиз бўлса, у ҳол­да иккинчи тур эгри чизиқли интеграл

мавжуд бўлиб,
(4)
бўлади.
Айтайлик, (1) системадаги функциялар да узлук­сиз ҳосилаларга эга бўлсин.
3-теорема. Агар ва функциялар да узлуксиз бўлса, у ҳолда эгри чизиқли интеграл

мавжуд бўлиб,
(5)
бўлади.
Бу теоремалар юқоридаги 1-теорема каби исботланади. Келтирилган теоремалар иккинчи тур эгри чизиқли интеграл- нинг мавжудлигини исботлаш билан бирга улар аниқ интегралларга (Риман интегралларига) келишини ифодалайди. Бинобарин, эгри чизиқли интегралларни ҳисоблаш имконини беради. Эгри чизиқли интеграллар (2),(4) ва (5) формулалар ёрдамида ҳисобланади.
Агар эгри чизиқ ушбу
,
тенгламалар билан берилган бўлса, унда эгри чизиқли интеграллар бир­мун­ча содда кўринишга эга бўлади. Айтайлик, эгри чизиқ

тенглама билан берилган бўлиб, функция да узлуксиз, ҳосилага эга бўлсин. У ҳолда (2) ва (5) формулалар қуйидаги
(6)
(7)
кўринишга келади. Айтайлик эгри чизиқ

тенглама билан берилган бўлиб, функция да узлуксиз ҳосилага эга бўлсин. У ҳолда (4) ва (5) формулалар қуйидаги
, (8)
(9)
кўринишга келади.
1-мисол. Ушбу

интеграллар ҳисоблансин. Бунда эгри чизиқ парабола­нинг абциссалари бўлган нуқталари орқасидаги қисми.
◄ эгри чизиқ тенглама билан аниқланишини эъти­бор­га олиб, интегрални ҳисоблашда (6) формуладан фойдала­на­миз:
.
интегралда интеграллаш эгри чизиғи бўлиб, (8) фор­му­лага кўра

бўлади. ►
2-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин, бунда эгри чизиқ эллипснинг юқори ярим текисликдаги қисми.
◄Бу эллипснинг параметрик тенгламаси

бўлади. нуқтага параметрнинг қиймати, нуқ­та­га эса қиймати мос келиб, параметр дан гача ўзгарганда нуқта дан га қараб эллипснинг юқори ярим текисликдаги қисмини чизади. Равшанки,

функциялар да узлуксиз. Берилган интегрални (5) формуладан фойдаланиб ҳисоблаймиз:

. ►
3-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин, бунда ёпиқ чизиқ ва нуқта­лар­ни бир­лаштирувчи тўғри чизиқ кесмаси ҳамда парабола ёйидан ташкил топган ёпиқ эгри чизиқ (50-чизма).

50-чизма

Равшанки,

кесмада бўлиб, (9) формулага кўра

бўлади.
ёйда бўлиб, яна (9) формулага кўра

бўлади. Демак,